Momentos y Productos De Inercia

“Año del Centenario de Machu Picchu para el Mundo”

CURSO : DINAMICA



TEMA : MOMENTOS Y PRODUCTOS DE
INERCIA DE MASAS.

DOCENTE : Dr. Msc. Ing. SERBANDO SOPLOPUCO
QUIROGA.

INTEGRANTES : DEISY ATALAYA GARCIA
SHIRLY CHUJUTALLI TORRES
CHANDY PAREDES RODRIGUEZ
JOSE E. RAMIREZ RAMIREZ
DIEGO SANCHEZ GIL
SANDRA I. TENAZOA RAMIREZMOMENTO DE INERCIA

y
F y A
x
y



Primer Momento de la sección respecto al eje X

Similarmente:

Segundo Momento (Momento de Inercia) de la sección respecto al eje X

Entonces: Momento de Inercia de la sección respecto al eje X

Similarmente: Momento de Inercia de la sección respecto al eje Y

MOMENTOS RECTANGULARES DE INERCIA DE UN ÁREA

y
Y
x
X
dA = dxdy





MOMENTO POLAR DE INERCIA

Y

x

r
y

X





TEOREMA DE STEINER (Teorema de los ejes paralelos)

X
Xcg =

CG
ycg
y

Nótese:





: Ubicación del C.G. respecto del eje Xcg

De esta manera se demuestra que:
Análogamente:

Similarmente para Momento Polar:

Donde es la distancia entre los centros de los pares de ejesparalelos

MOMENTO DE INERCIA DE ÁREAS COMPUESTAS







Observación: Todos los momentos de inercia de las figuras individuales están referidos al mismo eje.

PRODUCTO DE INERCIA

Y

dA

x

y

X



Producto de inercia puede ser positivo o negativo

En caso uno de los ejes sea eje de simetría:

dA
X
Y
Similarmente se puede usar el Teorema de los ejesparalelos:

x

YCG
xcg

ycg

CG
XCG
y

Nótese:

: Representa ubicación del centro de gravedad respecto el eje X; por lo tanto,
: Representa ubicación del centro de gravedad respecto el eje Y; por lo tanto,







MOMENTO DE INERCIA RESPECTO DE EJES ORTOGONALES CON EL MISMO ORIGEN
y
x
v
u
y
x
dA
u
v

Se conoce:, , y se desea conocer: , ,

Se puedededucir: ;

Nótese:







Análogamente:

Observación importante:

P
C
R
-Puv
I
Puv
Iu
Iv

I
Imax
Imin
P

Nótese que los valores de Momento de Inercia Máximo y Mínimo se obtienen cuando el producto de inercia es cero:



De esta manera se obtiene el ángulo m que permite determinar el valor máximo y mínimo del momento de inercia.




EJESPRINCIPALES

Se llaman ejes principales de inercia al par de ejes ortogonales para los cuales los momentos de inercia son máximos y mínimos respectivamente.

Se sabe:

Nótese que se obtienen dos valores para que difieren en 180°, por lo tanto los valores de difieren en 90°. De esta manera se dice que los valores de definen 2 ejes perpendiculares entre sí.

P2
P1

EJES PRINCIPALES YCENTRALES
Son los ejes principales que pasan por el centroide de la figura

ROTACIÓN DE EJES

Hasta el momento hemos analizado lo que ocurre con los momentos y productos de inercia de un área plana al TRASLADAR los ejes respecto de los cuales estamos realizando los cálculos.

¿Qué ocurrirá si en lugar de trasladarlos en forma paralela, los rotamos alrededor del origen de coordenadas? Enprincipio debemos definir el momento polar de inercia que se denota y calcula de la siguiente manera:

donde: JO es el momento polar de inercia
Ix e Iy son los momentos de inercia respecto de ejes x e y perpendiculares entre sí.
Iu e Iv son los momentos de inercia respecto de ejes u e v perpendiculares entre sí.

Basándonos en esta relación y calculando los momentos y productos de inercia enfunción del ángulo de rotación  podemos llegar a expresiones de Iu, Iv y Puv en función de , Ix, Iy y Pxy.

Estas expresiones se conocen como “fórmulas o ecuaciones de rotación” y son las siguientes:

EJES PRINCIPALES DE INERCIA

Al realizar la rotación de ejes los momentos y productos de inercia del área plana van a ir cambiando de valores hasta que llegue un punto en el que para un...