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ECUACIONES FUNDAMENTALES DE UN FLUJO

José Agüera Soriano 2011

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ECUACIONES FUNDAMENTALES DE UN FLUJO

• ECUACIÓN DE CONTINUIDAD • ECUACIÓN DE LA ENERGÍA • ECUACIÓN CANTIDAD DE MOVIMIENTO • APLICACIONES ECUACIÓN DE LA ENERGÍA • RESALTO HIDRÁULICO

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INTRODUCCIÓN
Son tres las ecuaciones fundamentales de un flujo: • ecuación de continuidad (conservaciónde la masa) • ecuación de la energía (conservación de la energía) • ecuación de la cantidad de movimiento (conservación de la cantidad de movimiento).

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ECUACIÓN DE CONTINUIDAD En un flujo permanente,
m1 = m2 = m & & &

ρ1 ⋅ Q1 = ρ 2 ⋅ Q2 = ρ ⋅ Q

V2 2

a) para gases,
m = ρ1 ⋅ V1 ⋅ S1 = ρ 2 ⋅ V2 ⋅ S 2 &

b) para líquidos ( ρ1 = ρ 2 = ρ )
Q = V1 ⋅ S1 =V2 ⋅ S 2

V1 1

volumen de control
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Energía de un líquido en reposo
E= p1

ρ

+ g ⋅ z1 =

p2

ρ

+ g ⋅ z2

o en metros de columna de líquido, p1 p2 H= + z1 = + z2

γ

γ

Energía de un líquido en movimiento
V2 p E= + + g ⋅ z J/kg en S.I. 2 ρ
o en metros de columna de líquido,

V2 p H= + +z m 2g γ
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Ecuaciónenergía en conducciones de líquidos
H1 = H2 + Hr12
SLL V 2 / 2g 1 p 1 /γ
línea

V12 p1 V22 p 2 + + z1 = + + z 2 + H r12 2g γ 2g γ
plano de carga inicial (PC)

1

A' piezométri ca A

(LP)

H1 z1

línea d e ene rgía (L E) LP B'

Hr 12 V 2 / 2g 2 p 2 /γ 2

B

H2

plano de referencia
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V z2
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V 2 2 g = altura cinética (desnivel entre LE y LP)

p γ= altura de presión (desnivel entre LP y conducto)
p γ + z = altura piezométrica
SLL V 2 / 2g 1 p 1 /γ 1 plano de carga inicial (PC) A' línea pie zométrica (LP) A H1 z1 H r 12 V 2 / 2g 2 p 2 /γ 2 plano de referencia
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z

= altura de posición respecto plano de referencia

línea d e ene rgía (L E) LP B'

B

H2

V z2
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Ecuación energía en máquinas flujolíquido
H1 = H2 + |Hr12| + Ht
Ht trabajo técnico, el que atraviesa los límites de la máquina

V12 − V22 p1 − p 2 Ht = + + z1 − z 2 − H r 2g γ
H r 12 Ht Ht H2 z1 1 turbina H2 H1 z1 bomba 1 plano de referencia
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H r 12

Ht H1

Ht

2

2 plano de referencia

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Ecuación energía en máquinas flujo líquido

H1 − H2 = |Hr12| + Ht
He Hm He Ht Ht Hr H2 H1 Hr HmHt

Ht

TURBINA
H1 H2

BOMBA
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Potencia de un flujo Turbina de reacción
Q m3 s   ρ ⋅ Q kg/s Densidad : ρ kg m 3  Altura : H m  2 2 g ⋅ H m s (J/kg) 2 Gravedad : g m s  Caudal :

P = ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H J/s (W)
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EJERCICIO
La energía de un caudal de agua, de 60 m /s, es, H = 50 m. Calcúlese su potencia.
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Solución
P = γ⋅ Q ⋅ H = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 60 ⋅ 50 = = 29430 ⋅10 W = 29430 kW (40000 CV)
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ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Cuando a lo largo de un volumen de control, la velocidad del flujo varía, es porque actúan fuerzas sobre él que lo aceleran: r
ΣF = m ⋅ a &
B V 1 C V 1 ΣF V 2 D A
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α A ΣF D

C V 2

B B' m1 V 1 ΣF A A' D (c) D' α m CB 2 ' B m1

C'

VV 2

1

α ΣF

C m2 D V2 D'

C'

A A' (c)

El impulso (ΣF ⋅ dt ) sobre la masa del volumen de control provocará una variación de su cantidad de movimiento [d ( m ⋅ V )]: r ΣF ⋅ dt = d (m ⋅ V ) = dp r Esta variación dp del sistema es la corresponde al instante (t + dt), menos la que tenía en t: r r r dp = pA'B'C'D' − pABCD = r r r r = ( pA'B'CD + pCDD'C' ) − (pABB'A' + pA'B'CD )
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B B' m1 V 1 ΣF A A' D α C m2 V 2 D' C'

Por ser el régimen permanente r r r ΣF ⋅ dt = dp = pCDD'C' − pABB'A' =

(c)

= m2 ⋅ V 2 − m1 ⋅ V 1 = m2 ⋅ dt ⋅V 2 − m1 ⋅ dt ⋅ V 1 & &
ΣF = m2 ⋅ V 2 − m1 ⋅ V 1 & &

ΣF = m ⋅ (V 2 − V 1 ) &
válida para líquidos y para gases
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APLICACIONES ECUACIÓN DE LA ENERGÍA...