Moncada

Tabla de contenido
CONCEPTO DE VECTOR. 2
Origen 2
Módulo 2
Dirección 3
Sentido 3
PROPIEDADES TRIGONOMÉTRICAS DE UN VECTOR. 3
Representación gráfica. 5
PRODUCTO ESCALAR 6
LEYES Y PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR. 7
PRODUCTO VECTORIAL. 8
LEYES Y PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL. 9




















CONCEPTO DE VECTOR.

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vectorposee unas características que son:
Origen
O también denominado “Punto de aplicación”. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
Módulo
Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
Dirección
Viene dada por la orientación en el espacio de larecta que lo contiene.
Sentido
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

PROPIEDADES TRIGONOMÉTRICAS DE UN VECTOR.

Para definir a las funciones trigonométricas recurrimos a una circunferencia centrada en un par de ejes cartesianos ortogonales, cuyo radio es una unidad. Considere un ángulo α, en estecaso en el primer cuadrante, medido en sentido positivo desde el eje de abscisas. Para él existe un único punto p que es la intersección de la circunferencia con el lado del ángulo en cuestión (vector), con coordenadas (x, y).




Se define entonces:
cos α es la abscisa del punto p, indicada en el gráfico x
sen α es la ordenada del punto p, indicada en el gráfico y

Ubicamos ahora un único puntop2 que se obtiene intersectando la prolongación del lado del ángulo con la recta T, paralela la eje Y, y tangente a la circunferencia en (1, 0), cuyas coordenadas son p2 = (1, y’).



Se define entonces:
tg α es la ordenada del punto p2, indicada en el gráfico y’.

Situamos un único punto p3, de coordenadas (x’, 1) , el que se obtiene intersectando la prolongación del lado del ángulo α con larecta C, paralela al eje X y tangente a la circunferencia en el punto (0, 1).


Se define entonces:
cotg α es la abscisa del punto p3 indicada en el gráfico x’.

Trazamos ahora una recta R perpendicular al lado del ángulo α (radio vector) en el punto p y tangente a la circunferencia en ese mismo punto. Esta recta intersecta a los ejes X e Y en puntos únicos que denominaremos p4 y p5, cuyascoordenadas son: p4 = ( x”, 0) y p5 = (0, y” ) .


Se define entonces:
sec α es la abscisa del punto p4, indicada en el gráfico x”
cosec α es la ordenada del punto p5, indicada en el gráfico y”




Representación gráfica.












PRODUCTO ESCALAR

El producto escalar de dos vectores es un “escalar” que se obtiene efectuando el producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman.U~ · V~ = |U~ | · |V~ | · cos α
También se puede definir como. El producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
U~ · V~ = |U~ | · ProyU~ V~ = |V~ | · ProyV~ U




LEYES Y PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR.

• El producto escalar de dos vectores es conmutativo.
U~ · V~ = V~ · U~
En efecto:
U~ · V~ = |U~ | · |V~ | · cos α
V~ · U~ = |V~ | · |U~ | · cos(2π − α) = |V~ |· |U~ | · cos α
Por tanto: U~ · V~ = V~ · U~

• El producto escalar cumple la propiedad distributiva respecto a la suma de vectores.
U~ · (V~ + W~ ) = U~ · V~ + U~ · W~
En efecto: U~ · (V~ + W~ ) = |U~ | · ProyU~ (V~ + W~ )
Dada la linealidad en la operación de proyección se cumple que:
ProyU~ (V~ + W~ ) = ProyU~ V~ + ProyU~ W~
Por tanto: U~ · (V~ + W~ ) = |U~ | · ProyU~ (V~ + W~ ) = |U~ | ·(ProyU~ V~ + ProyU~ W~ ) = = |U~ | · ProyU~ V~ + |U~ | · ProyU~W~ = U~ · V~ + U~ · W~

• El producto escalar no cumple la ley asociativa.
(U~ · V~ ) ·W~ = U~ · (V~ · W~ )
Simplemente observamos que el primer término es un vector con la dirección de W~ , en tanto que el segundo término es un vector en la dirección de U~

• Norma de un vector.
Definimos como norma de un vector U~ , al...