moneda

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
1. Disponemos de 210.000 soles para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las
del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de
130.000 soles en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la
inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión enB. ¿Cuál tiene que ser la
distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?
Solución
Es un problema de programación lineal.
Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A
Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B
inversión
x
y
210,000

Tipo A
Tipo B

rendimiento
0,1x
0,08y
0,1x+0,08y

Condiciones que deben cumplirse(restricciones):

R1
R2
R3
R4
Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible
(conjunto de puntos que cumplen esas condiciones)
r1
x
0
210000

r2 (paralela a OY)
y
210000
0

x
130000

y
0

r3 (paralela a OX)
x
0

y
60000

r4
x
0
130000

y
0
65000

La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y EInvestigación Operativa

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A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000)
La función objetivo es;
F(x, y)= 0,1x+0,08y
Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el
vértice más alejado es el D, y por tanto es la solución óptima.
Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximode la función objetivo, F, se
alcanza en el vértice D)

Investigación Operativa

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2. En una pastelería se hacen dos tipos de tortas: Vienesa y Real. Cada torta Vienesa necesita un
cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Soles, mientras que
una torta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Soles de
beneficio. Enla pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de
relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer más de 125 tortas de cada tipo.
¿Cuántas tortas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el
beneficio?
Solución
En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos:
Tipo
T. Vienesa
T. Real

Nº
x
y

Bizcocho
1.x1.y
150

Relleno
0,250x
0,500y
50

Beneficio
250x
400y

Función objetivo (hay que obtener su máximo): f(x, y)=250x+ 400y
Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):

Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la región factible:
Para 0.25x+0.50y=50, ó x + 2y=200
x
0
200

Y
100
0

Para x + y =150
x
Y
0
150
150 0
La otrasdos son paralelas a los ejes
Al eje OY x=125
Al eje Ox

y =125

Investigación Operativa

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Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el
primer cuadrante
La región factible la hemos coloreado de amarillo:

Encontremos los vértices:
El O(0,0), el A(125, 0) y el D(0, 100) se encuentran directamente (son lasintersecciones con los ejes
coordenados)
Se observa que la restricción y

es redundante (es decir “sobra”)

Resolviendo el sistema:

, por reducción obtenemos y=50, x=100
Otro vértice es el punto C(100, 50)
Y el último vértice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema:
X+y=150
X=125
Cuya solución es: X=125, Y=25 B(125, 25)
Los vértices de la región son O(0,0), A(125,0), B(125,25) yC(100,50) y D(0,100),
Si dibujamos el vector de dirección de la función objetivo f(x, y)=250x+ 400y
Haciendo 250x+ 400y =0, y=-(250/400)x=-125x/200
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x
0
200

Y
0
-125

Se ve gráficamente que la solución es el punto (100, 50), ya que es el vértice más alejado (el último
que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0 )
Lo comprobamos con el...