Monkey D, Luffy

UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA

y y'  x

  x 1   1  0   2( x  1 )   

Ing. Hélar Véliz Fernández 2013

ANÁLISIS MATEMÁTICO III

Ing. Hélar Véliz Fernández

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TEORÍA BÁSICA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
En el estudio de fenómenos reales en los que se analizan un cambio o una variación, aparecen ecuaciones que relacionan determinadas funcionesy sus derivadas. A este tipo de ecuaciones se les denomina ecuaciones diferenciales. La información que se obtiene a partir de estas ecuaciones nos permite predecir cómo va a evolucionar el modelo que se está estudiando. En particular, la solución de la ecuación diferencial es una función que representa una cantidad cuya variación estamos analizando. Esta información se puede obtener de unamanera explícita, cuando se obtiene la solución de la ecuación diferencial analíticamente. Pero esto no siempre es posible por ello recurrimos a otras técnicas como el cálculo numérico, que nos permite obtener aproximaciones, o el estudio cualitativo, que permite analizar el comportamiento de las soluciones aunque la expresión de éstas no sea conocida. En particular, los objetivos de este tema son lossiguientes:     Ver cómo surgen las ecuaciones diferenciales al describir o modelizar determinados problemas. Clasificar las ecuaciones diferenciales. Estudiar los diferentes tipos de soluciones que se pueden obtener. Analizar la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales. Definición de una Ecuación Diferencial Una ecuación diferencial es una ecuación que contienelas derivadas de una función desconocida con respecto a una o más variables independientes.

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Orden y Grado de una Ecuación Diferencial Orden: El orden de una ecuación diferencial ordinaria, está dado por el orden mayor de su derivada Grado: El grado de una ecuación diferencial está dado por el exponente del mayor de su derivada.Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Por la Cantidad de Variables Independientes Ecuación Diferencial Ordinaria Una ecuación diferencial es denominada diferencial ordinaria, si la función desconocida depende solamente de una variable independiente. Ecuación Diferencial Parcial Una ecuación diferencial se denomina ecuación diferencial parcial, si la función desconocida depende de dos o másvariables independientes. Ejemplos 1: Cuáles de las siguientes ecuaciones son ecuaciones diferenciales ordinarias y cuáles son ecuaciones en derivadas parciales. a) b) c) d)

dy 4y 7 dx

x 2  y 2 d x - 3 y d y  0
ω ω  y x

y''  3 y'  3 x  0

e)

2 ω  x2



2 ω t2

3

ω t

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Ejemplos 2: Determina,en las siguientes ecuaciones diferenciales, la función incógnita, la variable independiente y los parámetros. a) b) c) Modelo logístico de poblaciones:

dp   p   p  dt dT 1 A  T   dt k

Ecuación de transferencia de calor:

Ecuación diferencial que modeliza vibraciones mecánicas y circuitos eléctricos: x ' '  b x '  k x   sen  t 

Ejemplos 3: Determina que orden tienen lasecuaciones diferenciales siguientes: a) b) c)

y''  3 y'  3 y3  0

d5 y d x5

4

d3 y d x3

yx

M x ; y  d x  N x ; y  d y  0

Por la Linealidad de la Variable Independientes Ecuaciones Diferenciales Lineales Se dice que la ecuación:

F( x, y, y' , y' ' ,..., y (n) )  0

()

Es lineal, si F es una función lineal (exponente 1) de las variables

y, y' , y' ' ,...,y (n)
Así, (  ) es lineal si tiene la forma:

a n ( x )y (n)  a n 1( x )y (n 1)    a1( x ) y'a o ( x ) y  g( x )

()

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Si a n  0 , se dice que es una ecuación diferencial lineal de orden “n”. Ecuaciones Diferenciales No Lineales Se dice que una ecuación diferencial es no lineal, si no cumple con la condición de...