Monograf A

Aproximación a funciones mediante derivadas sucesivas: polinomio de Taylor


Mateo Collado Díaz

Número de candidato: 000241-0080
Resumen
La finalidad principal de este trabajo ha sido investigar acerca del campo de las funciones y evaluar conceptos de dicho ámbito de las matemáticas que no abarca el glosario de matemáticas, esto es, ampliar los conocimientos sobre características que cumplenciertas funciones en determinados casos. Un estudio inicial sobre diferenciales de una función hizo que descubriese un campo de las funciones que desconocía. En particular descubrí la relación entre series y funciones. Conforme avanzó la investigación descubrí la posibilidad de simplificar la representación de funciones difíciles de evaluar sin una herramienta tecnológica de apoyo: el teorema deTaylor. Desde entonces avancé por este rumbo. Quise alcanzar a conocer el procedimiento por el cual se había llegado a demostrar una simple fórmula que facilitaba el cálculo funcional notablemente y si estaba al alcance de mis conocimientos de matemáticas. En efecto la fórmula se basaba en teoremas explicados en clase, como el de Rolle, Cauchy, Lagrange… Además posee multitud de aplicaciones, entanto en cuanto sirve también de apoyo para demostrar otros teoremas.
El procedimiento de la realización del trabajo ha sido el siguiente: en un principio decidí enterarme de la teoría tanto del teorema como de las series y los polinomios de Taylor, con el fin de expresar a lo largo del trabajo qué facilidades aporta. Sin embargo, el ámbito inicial de investigación contaba con conceptos que erannecesarios para la correcta comprensión de la teoría que desconocida. Por lo tanto consideré que añadir dichos conceptos y enlazarlos con el tema principal del trabajo aportaría información útil en el trabajo.
Por último, tras aunar todos los nuevos conceptos y teoremas había que determinar el rango que abarcaban las aplicaciones del teorema de Taylor, por lo que incluyo en la conclusión laslimitaciones que trae consigo esta aportación al cálculo diferencial.
Índice
Resumen……………………………………………………………………………………………………………2
Generalidades……………………………………………………………………………………………………4
Prueba del teorema de Taylor ……………………………………………………………………………5
Series de Taylor-MacLaurin……………………………………………………………………………......8
Series numéricas……………………………………………………………………………………………...10
Series depotencias………………………………………………………………………………..11
Convergencia y divergencia……………………………………………………………………13
Aplicaciones del teorema de Taylor…………………………………………………………………..14
Desglosar el boceto de una función…………………………………………………………...”
Aproximación de una función en un punto con estimación del error….…….18
Conclusión……………………………………………………………………………………………………….20
Bibliografía………………………………………………………………………………………………………22

Generalidades
Cuando en clase estudiamos, dentro del apartado del estudio de funciones, lasdiferenciales y el comportamiento de las funciones a partir de sus derivadas sucesivas, decidí centrar mi trabajo en una investigación acerca de las derivadas n-ésimas. ¿Qué podía aportar al estudio de una función que esta fuese derivable un amplio número de veces? ¿Qué ventajas podía traer diferenciar una función tantas veces como fuese necesario? A lo largo de la investigación descubrí el teoremade Taylor.
James Gregory, matemático escocés del siglo XVII, desarrolló en 1670 aportaciones en el cálculo de funciones mediante diferenciales. Posteriormente los también matemáticos Brook Taylor y Colin MacLaurin avanzaron en este campo y el primero de ellos enunció el teorema de Taylor, con una fórmula para aproximar funciones mediante derivadas de esta y convertirla en un polinomio de grado n,los polinomios de Taylor. Este trabajo va a centrarse en la explicación, razonamiento y demostración de esta fórmula, además de aclarar conceptos necesarios para el entendimiento del funcionamiento de los polinomios de Taylor. Para ello se tratará de esclarecer términos como series, convergencia y divergencia, radio de convergencia,...