Monografia Calculo 2

Análisis Matemático II - Profesorado en Matemáticas
RESUMEN
Realizando ésta monografía se plasmaran en ella contenidos de la asignatura Análisis Matemático II.
En ésta materia se desarrolla cuestiones relacionadas con funciones de dos o tres variables reales.
Se propone las siguientes notaciones para funciones: f si es función escalar; F si es campo escalar (con dominio incluido en paran2); si es una función vectorial (con recorrido incluido en para n2) y para campo vectorial (con dominio incluido en para n2 y recorrido incluido en para m2).
INTRODUCCIÓN:
Inicialmente se desarrollarán los temas referidos a la unidad 1: “FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL”,donde se estudiarán dichas funciones y veremos los conceptos como: límite, continuidad,derivada y diferencialcon sus respectivas propiedades.Tambien contaremos con un pequeño marco teórico acerca de longitud de un arco, versores principales y los planos que ellos originan.
Luego se desarrollarán los temas referidos a la unidad 2 “Campos Escalares”, considerando los siguientes puntos:
Límites Doble y reiterado. Continuidad. Derivadas parciales y direccionales.Función diferenciable y homogénea. Teoremade Euler.
Seguidamente se citarán contenidos de la unidad 3 “Integrales Múltiples” de acuerdo a la cantidad de variables independientes que presenta la función dada. En particular se estudiarán funciones reales de dos o tres variables independientes, es decir solo se trabajará con integrales dobles y triples respectivamente.
Para finalizar se efectuará el desarrollo de temas correspondientesa la unidad 4; ¨FUNCIONES VECTORIALES DE UN VECTOR O CAMPOS VECTORIALES¨ de manera muy similar a lo mencionado en las unidades de funciones vectoriales de una variable real. Y algunos temas de integrales curvilineas.
DESARROLLO:

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL:

Definición:
Una función vectorial de una variable real es cualquier función cuyo dominio es un conjunto de númerosreales y su recorrido o imagen es un conjunto de vectores. Se las simboliza de la siguiente manera:


Límite de funciones vectoriales:
Se dice que el límite de una función es un vector cuando , excepto para el valor , entonces es un vector límite de cuando t se acerca a .
Siendo
y


Se deben tener en cuenta los siguientes teoremas:
Teorema:
y

Si(y es finito) éste es ÚNICO.
Teorema:
y


Demosrtración:



Continuidad de funciones vectoriales:
Siendo
y

Se dice que la función vectorial dada es continua, sí y solo sí es continua en todos los puntos de su dominio, es decir cumpliendo los siguientes puntos:
1)
2)
3)
Si la función dada no cumple con alguna de las tres condiciones citadas sedice que no es continua o presenta algún tipo de discontinuidad, ya sea evitable (cumpliendo 2) o inevitable (no cumple con 2).
Propiedades de las funciones vectoriales continuas:
Dadas las siguientes funciones continuas:

; ;
t j(t)
Se verifican las siguientes propiedades , considerando a :
es continua en
escontinua en
es continua en
es continua en
Demostración:
Si es p. ac. entonces es p. ac. de. y el
(t)= y = (
(+)(t) = [+(t)]= (t) + (t)= +(= (+)= (+)()= (+)
Entonces es continua en

Como así también, siendo se verifica lo siguiente:
es continua en

Derivada de funciones vectoriales:

Siendo


Una función vectorial dada, se dice que su derivada es otra funciónvectorial cuya regla de correspondencia es:

En el caso particular, para cuando, es conveniente aplicar la siguiente fórmula:


Propiedades de la derivada de funciones vectoriales:

Siendo:
; ;
t j(t)
Funciones derivables sobre un intervalo abierto, entonces las siguientes operaciones también resultan derivables en...