Monografia

1. INTRODUCCION

A menudo la vida nos enfrenta al problema de encontrar un mejor modo de hacer una determinada labor. Por ejemplo, un agricultor quiere escoger la mezcla de cultivos que sea la más apropiada para obtener el mayor aprovechamiento. Algunas veces un problema de esta naturaleza puede asociarse de tal manera que involucre maximizar o minimizar una función sobre un conjuntoespecífico.

2. DERIVADA

La derivada se representa cómo una función que cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación); por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo conrespecto al tiempo, es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.

3. ANÁLISIS Y TRAZO DE CURVAS

En este tema se examinarán las funciones mediante la tabulación y el posterior análisis de su comportamiento gráfico.

3.1 ESTUDIO DE LA VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN

a) Tabulación y Graficación de una Función

Ejemplo.

Un grupo de investigadores ecologistas observó que elcrecimiento de un pino de una especie determinada esta dado por la siguiente función.
y = x

En donde ‘x’ representa el número de años transcurridos de la vida del pino y la ‘y’
Representa su altura en metros.
Completa la siguiente tabla

x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
y | 0 | 1 | | | 2 | | | | | 3 |

Los valores que se le dan a ‘x’ son arbitrarios, y pueden sermás grandes que 9, pero no más pequeños que cero, ¿por qué?
La gráfica queda como se muestra a continuación.

Y(variable dependiente, metros)
Y(variable dependiente, metros)
4

3

2

1

0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
X(variable independiente , años )

Recuerda que la variable ‘y’ es una función de ‘x’, ( y = f (x) ).

b)Dominio y Rango de una Función

A partir de las gráficas siguientes obtén la información necesaria para contestar lo que se te pide a continuación:





a) b)
y y

x x
0 0

c) d)


1 x x
0 2 0



Ahora ya se pueden definir el dominio y el rango definiciones

DOMINIO (D). Eldominio de una función son todos los valores de la variable independiente ‘x’ que hacen que la función sea real, es decir, que exista.

RANGO (R). El rango o conjunto de imágenes de una función son todos los valores que puede tomar la función (y) para todos y cada uno de los elementos del dominio.

4. ECUACIONES DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL

Cuando estudiaste geometría analítica(Matemáticas IV) seguramente te encontraste con el problema de hallar las ecuaciones de las rectas, tangente y normal a una curva en un punto determinado. Pues bien, en esta sección podrás obtener dichas ecuaciones utilizando la derivada de la función.


Ejemplo.

Sea la ecuación de una parábola y = x² – x – 6

Nos interesa encontrar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a dichacurva en el punto P(2,–4).


Como la derivada de la función representa la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquiera de sus puntos, entonces, empezaremos por obtener dicha derivada.

Así y’ = 2x – 1

Y como el punto en donde nos interesa obtener las ecuaciones de las rectas tangentes y normal es p(2,–4), que tiene como abscisa el valor de x = 2, entonces el valor de laderivada de la función en x = 2 es

f’ (2) = 2 (2) – 1

= 4 – 1

= 3
Por tanto, la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto dado es m = 3
Debes recordar que las ecuaciones de las rectas tangente y normal son:

y – y1 = m (x – x1) Ecuación de la recta tangente

1

y – y1

= – (x – x1) Ecuación de la recta normal
m
a) Para la ecuación de la...