Monografia

|Año académico: 2006-2007 | | |I.E.S. “La Ería” |
| | |Departamento Didáctico de Matemáticas | | |
|Nivel: Bach. |CCSS | | | ||Complementos teórico-prácticos. |Tema: Análisis diferencial, derivadas. |
|Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y profesor agregado de Matemáticas en E.S. |

Cálculo diferencial.


← Derivada de una función.
✓ Es el valor de la tangente trigonométrica del ángulo que la tangente geométrica,a la gráfica de la función en el punto, forma con el eje de abscisas.
✓ (≡) Es el valor del límite del cociente incremental, o de la tasa de variación media de la función (T.V.M.), cuando el incremento en la variable tiende a cero, es decir,[pic], donde [pic] e [pic], también, dicho de otro modo, en términos puntuales, [pic], y si hacemos [pic] obtenemos lo dicho anteriormente.
✓ Laderivada de una función se puede escribir de varias formas, en función de cómo esté definida y de cuál sea la variable independiente, así:
➢ [pic].
✓ Gráficamente:
✓ De la gráfica se desprende que cuanto menor sea la distancia entre los puntos, la prolongación de la hipotenusa del triángulo formado por los incrementos de la variable y de la función, más se aproximará a latangente a la gráfica por el punto de abscisa x0.
✓ Así pues, la ecuación de una recta tangente a la gráfica de una función por un punto de coordenadas [pic], será [pic].
✓ De igual modo, y en una primera aproximación, se cumple que para toda función f(x), [pic](Imp_1)

← Derivadas elementales aplicando la definición.
✓ La función constante: [pic]
➢ Por definición dederivada [pic]
➢ La derivada de una constante es nula.
➢ Ejemplos: [pic] ; [pic]
✓ La función identidad: [pic]
➢ Por definición de derivada [pic]
➢ La derivada de la función identidad es la unidad.
➢ Ejemplos: [pic] ; [pic]
✓ La función inversa de x: [pic]
➢ De la definición de derivada [pic]
➢ La derivada de lafunción inversa de x es el opuesto de su cuadrado.
➢ Ejemplos: [pic] ; [pic]
✓ La función cuadrática: [pic]
➢ Por definición de derivada [pic] [pic]
➢ La derivada de la función cuadrática es el doble de la función identidad.
➢ Ejemplos: [pic]; [pic]
✓ La potencia de la función identidad: [pic]
➢ Por definición de derivada[pic][pic], ya que todos los términos que contienen h se anulan.
➢ La derivada de una potencia es igual al exponente por la base elevada al exponente disminuido en una unidad.
➢ Ejemplos: [pic] ; [pic]
➢ NOTA Fijarse que [pic], con lo que [pic], es otra forma de calcular las derivadas de las inversas, así, [pic] tendrá por derivada [pic]
✓ La función logaritmoNeperiano: [pic]
➢ Por definición de derivada y por las propiedades del neperiano [pic][pic]
✓ La función exponencial: [pic]
✓ La función seno: [pic]
✓ La función coseno: [pic]
✓ La función tangente: [pic], ya que [pic] [pic]
← Álgebra de derivadas.
✓ Derivada de una suma de funciones: [pic]
➢ Por definición de derivada
[pic][pic]
➢ Laderivada de una suma de funciones es igual a la suma de sus derivadas. Ya podemos derivar polinomios, monomio a monomio.
➢ Ejemplo: [pic]
✓ Derivada del producto de una constante por una función: [pic]
➢ Por la definición de derivada [pic]
➢ La derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función....