Morse - Mecánica Cuántica

Tecnológico de Monterrey Campus Monterrey

EL OSCILADOR DE MORSE

Myrthala Wong Tamez 612536 Dr. Hugo Raúl Alarcón Opazo Mecánica Cuántica Grupo 2

Monterrey, Nuevo León a 29 de abril de 2010

En física observamos el comportamiento de las partículas y lo modelamos con ecuaciones matemáticas. Por ejemplo, podemos calcular la energía que tiene una partícula con movimiento oscilatorio. EnMecánica Clásica, el potencial de la partícula que describe un movimiento oscilatorio lo modelamos mediante el Oscilador Armónico. En Mecánica Cuántica, por otro lado, no nos sirve la misma ecuación; en este caso, entra el Oscilador de Morse. El Oscilador de Morse se utiliza para describir el movimiento de una partícula cuyo potencial se describe por la función denominada Potencial de Morse.También se puede utilizar analógicamente para describir el potencial del átomo de hidrógeno, tal como lo hace Lee Soo-Y en su artículo “The hydrogen atom as a Morse oscillator”, en el cual dice que el electrón en el átomo de hidrógeno se puede ver como si estuviera oscilando alrededor de las órbitas de Bohr bajo el Potencial de Morse. En el presente escrito se describe esta relación entre el Oscilador deMorse y el átomo de hidrógeno. En cuanto a la representación del movimiento de partículas, el Oscilador Armónico se utiliza para representar la vibración de una molécula. La desventaja de este método es que una molécula diatómica que se unió usando un Potencial Armónico nunca se va a separar, cosa que en realidad no sucede. En cambio, el Potencial de Morse nos lleva a una versión más real: laseparación de las partículas. Estos fenómenos lo podemos apreciar en la figura 1, donde en color azul está representado el Potencial Armónico de una partícula diatómica y en color rojo el Potencial de Morse de la misa.

Fig. 1. Comparación entre el Potencial Armónico (azul) y el Potencial de Morse (rojo) de una partícula diatómica.

Hay algo muy interesante con el Potencial de Morse, y es que alser un modelo de dos partículas que se mueven una con respecto a la otra, podemos hacer analogías con otros sistemas de dos partículas, como el átomo de hidrógeno. Generalmente, el átomo de hidrógeno está vinculado con estados electrónicos, mientras que el oscilador de Morse ser relaciona con estados vibratorios. Si comparamos la energía vibratoria con la electrónica, vemos que esta última escientos de veces mayor, lo cual nos hace pensar que no hay relación entre el movimiento electrónico en un átomo de hidrógeno y el movimiento vibratorio de una partícula diatómica. Sin embargo, tienen algo en común: ambos casos trabajan con el movimiento relativo entre sí de dos partículas. En el caso del átomo de hidrógeno, las partículas son el electrón y el núcleo; en el oscilador de Morse, los dosnúcleos.

Para ver al átomo de hidrógeno como un oscilador, hay que considerar el modelo planetario de Bohr y tomar en cuenta los orbitales. Aquí, el electrón oscila alrededor de los orbitales; además, está sujeto a los Potenciales de Morse y sus posiciones de equilibrio están, precisamente, en los orbitales. A cada número cuántico principal ������ le corresponde un Oscilador de Morse con������ estados ligados, uno para cada valor permitido del número cuántico de momentum angular ������. Cada Potencial de Morse es una función de la coordenada de vibración x, la cual es una relación entre la 0 coordenada radial ������ del electrón relativa al radio de la ������-ésima órbita de Bohr, ������������ . El mínimo del Potencial de Morse está en la órbita ������ = 0 y la energía de separación para el������-ésimo oscilador de Morse es el cuadrado del momentum angular clásico del electrón en la órbita de Bohr. Esto quiere decir que el potencial mínimo del átomo de hidrógeno se da en la órbita más cercana al núcleo y que eventualmente se van a separar las partículas. Entonces, para cada número cuántico hay una Ecuación de Schrödinger y un Potencial de Morse. En su artículo, Soo-Y nos...