MOSAICOS Y FRACTALES

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Actividades de geometría fractal en el aula
de secundaria (II)

Febrero 2005, pp.15-21

La primera parte se dedicó al concepto de fractal, su dimensión y la generación de algunos tipos de fractales (determinista lineales y sistemas de funciones iteradas) y se hizo un estudio exhaustivo del triángulo de Sierpinski. Continuamos aquí con otras
formas de generar fractales.

The firstpart of this article was devoted to the concept of fractal, its dimension and the generation of some kinds of them (deterministic, linear and systems of iterative functions) as well as to an exhaustive study of Sierpinski's triangle. The article goes on with
other ways of fractal generation.

L

a primera parte de este artículo se dedicó al concepto de
fractal, su dimensión y la generación dealgunos tipos de fractales (determinista lineales y sistemas de funciones iteradas) y
se hizo un estudio exhaustivo del triángulo de Sierpinski.

Comenzamos con F ___________________
F-F++F-F

Continuamos aquí con otras formas de generar fractales.

Sistemas L
Además de los sistemas de funciones iteradas, hay otras de
obtener objetos fractales. Una de ellas es mediante el uso desistemas L. Fueron ideados en 1968 por el biólogo Aristid
Lindenmayer y, mediante ellos, se podían describir diferentes
tipos de plantas.

F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F

Un sistema L está formado por un elemento inicial, un conjunto de símbolos, (letras y caracteres especiales),y unas
reglas de transformación de esos símbolos.
En los sistemas L cada símbolo puede ser sustituido por todoun conjunto de símbolos. Por ejemplo:
F → F-F++F-F

+→+

-→-

El elemento inicial es un segmento representado por la letra
F, + significa giro de 60º en el sentido de las agujas del reloj y
- en sentido contrario.

Antonia Redondo Buitrago
IES Diego de Siloé. Albacete.

Mª José Haro Delicado
IES Al-Basit. Albacete.

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SUMA 48
Febrero 2005

Si continuamos se obtiene la curvade Koch. El triángulo de
Sierpinski se obtendría con el sistema
F → F--F--F--ff

f → ff

+→+

-→-

La interpretación es la misma, sólo que f supone el mismo
avance sin dejar huella.
La aplicación más importante de los sistemas L está en el diseño de modelos que permiten simular diversos tipos de plantas
y árboles donde se da un proceso de ramificación. Un modelo sería
F →F(+F)F(-F)F

+→+

-→-

(→ (

) →)

Los giros a la izquierda “-” y los giros a la derecha “+” son de
28.58º, “(“ significa el comienzo de una nueva rama que termina cuando aparece “)”.

El biólogo Robert May en 1976 publicó un modelo para el
estudio de la evolución de ciertas poblaciones de insectos en
el que daba la siguiente relación entre las poblaciones de dos
años consecutivos p(n+1) = kp(n) (L-p(n)), donde p(n) es el
índice de la población en el año n, L es la población máxima
estimada y k es una constante que depende únicamente del
tipo de población (especie y estado) y de su ubicación, pero no
depende de n.
Si en la ecuación anterior dividimos por L y llamamos xn a
P(n)/L, resulta:
p(n + 1) k p(n) ( L − p (n))
=
L
L

p(n + 1)
= k xn (1 − xn )L
L

Si kL = r, setiene xn+1 = rxn (1-xn) siendo xn mayor o igual que
cero y menor o igual que uno y xn el cociente entre la población del año n y la población máxima estimada. Dicha fórmula nos permite hallar la población en un determinado año
conociendo la población en el año anterior. Como xn+1 ha de
estar entre 0 y 1, la constante r ha de estar entre 0 y 4.
La ecuación anterior se puede representarmediante la función f: [0,1] → [0,1] definida por f(x) = rx(1-x) con k perteneciente al intervalo abierto (0, 4). El par ( [0, 1], f) constituye un
sistema dinámico discreto. Este sistema dinámico tiene una
sencilla función de transición (cuadrática) y, sin embargo,
explica de forma precisa cómo se pasa del determinismo al
caos.

Actividad 16: Sobre cuadrículas o tramas de puntos y utilizando...