movimento de un plano

De entre los posibles movimientos de un sólido rígido, se dice que un sólido “2” realiza un movimiento plano respecto a un sólido “1” si los desplazamientos de todos sus puntos son permanentemente paralelos a un plano fijo en el sistema de referencia ligado al sólido 1. Este plano se denomina plano director, ΠD del movimiento plano.

Así, por ejemplo, el movimiento que realiza el chasis de uncoche, respecto a la calzada por la que éste circula, es un movimiento plano.

También lo es el movimiento de una de sus ruedas cuando el coche avanza en línea recta. Sin embargo, en ese caso, el plano director no es el plano de la calzada, sino uno perpendicular a ella.

Cualquier plano paralelo a un plano director del movimiento {21} funciona también como plano director de dicho movimiento,por lo que ese término designa realmente a toda la familia de planos paralelos, caracterizados por una perpendicular común. Esta dirección normal a la familia de planos directores puede tomarse siempre como eje OZ (o cualquier otra dirección fija que nos convenga) y el vector unitario normal a los planos directores puede ser denotado como \vec{k}

Matemáticamente tenemos que, para todo puntodel sólido debe cumplirse en todo instante que

\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{k}=0\qquad\forall t,\ \forall P
2 Propiedades del movimiento plano
Un movimiento plano de un sólido satisface, entre otras, las siguientes propiedades:

1) Las velocidades de todos los puntos del sólidos se encuentran contenidas en planos paralelos
Es la condición definitoria del movimiento plano.
2) Las aceleraciones detodos los puntos son siempre paralelas al plano director
Puesto que la identidad anterior se cumple en cada instante, podemos derivar en ella respecto al tiempo
0 = \left.\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}(\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{k})\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}(\vec{v}^P_{21})\right|_1\cdot\vec{k} = \vec{a}^P_{21}\cdot\vec{k}
3) La trayectoria de cada uno de los puntos es planaPuesto que la velocidad y la aceleración de cada punto son tangentes al plano director, el vector binormal de cada trayectoria es siempre perpendicular al plano y por tanto constante.
4) La velocidad angular del movimiento {21} es perpendicular al plano director (o nula)
Por tratarse de un movimiento rígido, para cualesquiera dos puntos del sólido 2 se cumple\vec{v}^Q_{21}=\vec{v}^P_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{PQ}
Multiplicando aquí escalarmente por el vector normal al plano director
\vec{k}\cdot\vec{v}^Q_{21}=\vec{k}\cdot\vec{v}^P_{21}+\vec{k}\cdot(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{PQ}) \Rightarrow 0 = 0 + (\vec{k}\times\vec{\omega}_{21})\cdot\overrightarrow{PQ}
Puesto que esta identidad debe cumplirse para cualquier par de puntos, la única posibilidades que
\vec{k}\times\vec{\omega}_{21}=\vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad\begin{cases} \vec{\omega}_{21}=\vec{0} & \\ \mbox{ o } & \\ \vec{\omega}_{21}\parallel\vec{k} &\end{cases}\qquad\Rightarrow\qquad\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\vec{k}
Esto permite tratar a la velocidad angular como una cantidad escalar, puesto que su dirección es conocida. El sentido de la velocidad angular lo da el signo de lacantidad escalar ω21.
5) La aceleración angular del movimiento {21} es perpendicular al plano director
Es consecuencia inmediata de que la velocidad angular posea dirección constante
\vec{\alpha}_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\frac{\mathrm{d}\omega_{21}}{\mathrm{d}t}\vec{k}=\alpha_{21}\vec{k}
6) Son compatibles con un movimiento plano los movimientosinstantáneos {21} de reposo, traslación o rotación, pero no el helicoidal
Si \vec{\omega}_{21}=\vec{0} entonces el movimiento {21} es un estado de reposo o es una traslación.
Si la velocidad angular no es nula, la velocidad de deslizamiento vale 0
v_d = \frac{\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|}=\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{k}=0
y por tanto en ese caso el movimiento es una...