Movimiento armonico simple

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
El movimiento armónico simple (se abrevia M.A.S.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple (abreviado M.V.A.S.). Es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no unm.a.s..
En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigidahacia éste
Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación
x=A·sen (ωt+φ)
donde
* A es la amplitud.
* w la frecuencia angular.
* w t+j la fase.
* j la fase inicial.

Las características de un M.A.S. son:
* Como los valores máximo y mínimo de la funciónseno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A.
* La función seno es periódica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2p, es decir, cuando transcurre un tiempo P tal que w(t+P)+j=w t+j+2p .
P=2π/ω
 
Cinemática de un M.A.S.
En un movimiento rectilíneo, dada la posiciónde un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.
La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación
x=A·sen(ωt+φ)
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil

Esteresultado se suele expresar en forma de ecuación diferencial

Esta es la ecuación diferencial de un MAS donde x puede ser cualquier magnitud: un desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un condensador, una temperatura, etc.
Puede comprobarse que la solución de esta ecuación diferencial es
x=A sen(w t+j )
Condiciones iníciales
Conociendo la posición inicial x0 y la velocidadinicial v0 en el instante t=0. x0=A·senj
v0=Aw·cosj
Se determinan la amplitud A y la fase inicial φ:  
Dinámica de un M.A.S.
Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.

Como la  fuerza  F es conservativa. Eltrabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y el final de la energía potencial Ep.

La expresión de la energía potencial es

Donde c es cualquier constante. Se toma como nivel cero de la energía potencial Ep=0 cuando el móvil está en el origen, x=0, por lo que c=0
La energía total E, es la suma de la energía cinética Ek y de la energía potencial Ep que es constante.Expresiones del M.A.S:
Se llama elongación (y) en un MAS a la posición que ocupa el punto respecto al origen de coordenadas. En nuestro ejemplo el origen de coordenadas está en el centro de la circunferencia (0,0). El punto rojo parte de aquí hasta (+radio), vuelve a 0 y llega hasta (-radio), sobre el eje de ordenadas.
Se llama Amplitud (A) al valor máximo que alcanza “Y”; es decir, el radio.Los valores que va tomando la y según va pasando el tiempo se pueden expresar en función de la posición del punto verde, ya que la coordenada y es extremo de la proyección del segmento que une el centro (0,0) y el punto verde sobre el eje de las “Y", o sea: cos a, siendo a el ángulo (en radianes) que forma con el eje Y. Así pues:
Y(t)=A.cosa |
Fíjate que cuando el tiempo es 0, a = p/2 rad...