movimiento armonico simple

Unidad 6 Movimiento armónico simple
6.1 Movimiento a un cuerpo unido a un resorte
6.2 Representación matemática de mov. Armónico simple
6.3 Energía del oscilador del armónico simple
6.-Movimiento armónico simple
El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y enintervalos iguales de tiempo.
Por gaver, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo. El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.
Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamosatención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.


Posición (negro), velocidad (verde) y aceleración (rojo) de un oscilador armónico simple.
Respecto a su posición deequilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que  donde  es una constante positiva y  es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la posición deequilibrio).
Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial

Siendo  la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo  se obtiene la siguiente ecuación donde  es la frecuencia angular del movimiento:

La solución de la ecuación diferencial (2) puede escribirse en la forma

donde:
 es la elongación odesplazamiento respecto al punto de equilibrio.
 es la amplitud del movimiento (elongación máxima).
 es la frecuencia angular
es el tiempo.
es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.
Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como esto:
, y por lo tanto el periodo como 
La velocidad y aceleración de la partículapueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión .
Velocidad La velocidad instantánea de un punto material que ejecuta un movimiento armónico simple se obtiene por lo tanto derivando la posición respecto al tiempo:

Aceleración 
La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivado la ecuación de la velocidad respecto altiempo:

Amplitud y fase inicial 
La amplitud  y la fase inicial  se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimento, esto es de los valores de la elongación  y de la velocidad  iniciales.

Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

Un ejemplo de MAS sería el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese caso k sería la constante deelasticidad del muelle.
Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:

Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración (6) se deduce:

Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:

Energía del movimiento armónico simple Energía del movimiento armónico simple frente a la elongación.
Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas...