Movimiento Armonico Simple

Cap´
ıtulo 1
Osciladores
Este cap´
ıtulo trata tres tipos de movimiento arm´nico en orden de creo
ciente complejidad: simple, amortiguado y forzado. El material de las dos
ultimas secciones es en gran parte independiente de la primera, pero ´sta
´
e
contiene algunos conceptos b´sicos que el principiante debe conocer antes de
a
seguir adelante.

1.1.

Movimiento arm´nico simple
oUna masa unida a un resorte que realiza un movimiento oscilatorio sobre
una superficie lisa (sin roce) constituye un ejemplo de oscilador arm´nico
o
simple. Lo mismo se obtiene si un p´ndulo ejecuta peque˜ as oscilaciones.
e
n

1.1.1.

Cinem´tica
a

La Ec. que describe la posici´n x de la masa que realiza el movimiento
o
como funci´n del tiempo t es (Fig. 1.1)
o
x = A0 cos(ω0 t +φ)

(1.1)

El ´ngulo φ se denomina constante de fase. Muchas veces basta consia
derar φ = 0 ´ φ = −π/2, en cuyos casos se obtienen x = A0 cos(ω0 t) o
o
x = A0 sin(ω0 t) respectivamente.
La amplitud A0 representa la mitad de la distancia que hay entre las
posiciones m´xima y m´
a
ınima. Esta constante tiene la dimensi´n de
o
1

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CAP´
ITULO 1. OSCILADORES

2

x
A0
t
φ
ω0

A0
T

Figura 1.1: Gr´fico del movimiento arm´nico simple (Ec. (1.1)). Se indican expl´
a
o
ıcitamente la amplitud A0 , la duraci´n del periodo T y la constante de fase φ dividida
o
por ω0 . El efecto de la constante de fase es desplazar el origen del eje del tiempo
hacia la derecha ohacia la izquierda conforme φ sea mayor o menor que cero, pero la
”forma”de la curva no se altera.
longitud o m (metros) en el SI1 .
La constante ω0 recibe el nombre frecuencia angular y viene dada en
rad/s (radianes/segundo).
Tambi´n es conveniente definir la frecuencia (n´ mero de ciclos u oscie
u
laciones por segundo)
f=

ω0
2π

(1.2)

y su unidad es 1/s = Hz (Herz).
Finalmente seintroduce el periodo que equivale al tiempo que dura una
oscilaci´n completa
o
T=

1
2π
=
f
ω0

(1.3)

y se mide en s.
Las constantes A0 y φ quedan determinadas por las condiciones iniciales, es
decir, los valores de la posici´n y la velocidad al comienzo del movimiento
o
(Prob. 1.1.5(A)).
1

Sistema Internacional de Unidades.

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CAP´
ITULO 1. OSCILADORES

6

Cuadro 1.1: Algunos ejemplos t´
ıpicos de ICM (momento de inercia relativo al centro
de masa).

varilla delgada de largo L (eje perpendicular a la varilla)
cilindro macizo de radio R (eje paralelo al cilindro)
esfera de radio R

1.1.3.

ICM
mL2 /12
mR2 /2
2mR2 /5

Energ´
ıa

Energ´cin´tica: est´ asociada al movimiento de la part´
ıa e
a
ıcula7 de masa
m que tiene una velocidad igual a v
Ek =

1
1
2
mv 2 = mvmax sin2 (ω0 t + φ)
2
2
1
2
= mA2 ω0 sin2 (ω0 t + φ)
0
2
1
= kA2 sin2 (ω0 t + φ)
0
2

(1.19)

Energ´ potencial: aparece debido a la fuerza que ejerce el resorte sobre
ıa
la masa. Al estirar el resorte se realiza un trabajo externo que es igual
a laenerg´ potencial8
ıa
Ep =

121
2
kx = mvmax cos2 (ω0 t + φ)
2
2
1
2
= mA2 ω0 cos2 (ω0 t + φ)
0
2
1
= kA2 cos2 (ω0 t + φ)
0
2

(1.20)

siendo x la deformaci´n del resorte.
o
7

Se supone un resorte ideal con masa despreciable. En el Prob. 1.1.27 se discute como
se altera la energ´ cuando se considera la inercia del resorte.
ıa
8
Se puede asumir sin p´rdida de generalidadque la energ´ potencial vale cero para
e
ıa
x = 0.

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´
1.1. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

7

Energ´ total = Energ´ cin´tica + Energ´ potencial = constante, pues
ıa
ıa
e
ıa
la fuerza el´stica es conservativa
a
1
2
mvmax = Ek,max
2
1
2
= mA2 ω0
0
2
1
= kA2 = Ep,max...