Movimiento armónico forzado

M.A.S. FORZADO
Un vibrómetro es un aparato destinado a medir las amplitudes de las vibraciones y consiste,
esencialmente, en una caja que contiene una varilla delgada a la cual está unida una masa m;
la frecuencia natural del sistema masa-varilla es de 5 Hz. Al unir rígidamente el aparato a la
carcasa de un motor que gira a razón de 600 rpm se observa que vibra con una amplitud de
1.6 mmrespecto a la caja. Deducir la amplitud del movimiento vertical del motor.
Solución: I.T.T. 96, 03
Llamemos x1 al movimiento del vibrómetro respecto del S.R. del laboratorio (es el
movimiento vertical del motor), x2 al movimiento de la masa de la varilla respecto de la
caja del vibrómetro y x = x1 + x 2 al movimiento de la masa de la varilla respecto del
laboratorio. Con los datos del enunciado:( )

x1 (t ) = δ m cos ω f t

(

, x 2 ( t) = A cos ω f t + ϕ

)
( )

Cuando la carcasa del motor se mueve con un M.A.S. x1 (t ) = δ m cos ω f t comunica a la

( )

masa de la varilla una fuerza oscilatoria: F (t ) = F0 cos ω f t con una amplitud F0
relacionada con el desplazamiento del motor: F0 = k δm donde k es la constante elástica
del sistema varilla-masa. Si suponemosque no hay rozamiento o que es despreciable
(γ = 0) el movimiento de la masa de la varilla vendrá dado por:

⎫
⎪
⎪
( kδ m ) / m = δ mω 2 ⎪
F0 / m
0
B= 2
= 2
⎬
2
ωf − ω0
ω 2 − ω 2 ⎪
ω0 − ω 2
f
0
f
⎪
π
⎪
β = arctg(−∞) = −
2
⎭

(

x (t ) = B sen ω f + β

)

π ⎞
⎛
x( t) = Bsen ⎝ ω f − ⎠ = B cos ω f − π
2

(

⇒

)

La composición de movimientos nosindica que x 2 = x − x1 , con lo que:

(

)

(
= Bcos(ω

)
( )
− π ) + δ cos(ω t − π ) =
) cos(ω − π )

A cos ω f t + ϕ = Bcos ω f − π − δm cos ω f t =

= (B + δm

f

m

f

⎧ ϕ = −π
⎪
⎪
2
⎨
δmω 0
+ δm
⎪ A = B + δ m = 2
2
ω f − ω0
⎪
⎩

⇒

f

⇒

⎛ A ⎞
δm = ⎜ 2 ⎟ ω 2 − ω 2 = 1.2 mm
f
0
⎝ ω f ⎠

(

)

€
Física

Tema

Página 1Un motor de velocidad variable está unido rígidamente a una viga. El rotor está ligeramente
desequilibrado y hace que la viga vibre con una frecuencia igual a la del motor. Cuando este
funciona por debajo de las 600 rpm o por encima de las 1200 rpm se observa que un pequeño
objeto A colocado encima de la viga permanece en contacto con esta, mientras que entre 600
rpm y 1200 rpm el objeto“brinca” y pierde realmente el contacto con la viga. Determínese la
amplitud de movimiento de A cuando la frecuencia del motor es de a) 600 rpm, b) 1200 rpm.
Solución: I.T.T. 97, 01, 04
Si dibujamos el diagrama de las fuerzas que actúan sobre el
objeto A cuando la viga en su vibración se acelera hacia
abajo, y aplicamos la segunda ley de Newton tenemos:
 

mg + N = ma

⇒

mg − N = ma

⇒N = m( g − a)


N


a


mg

Esto quiere decir que para aceleraciones a superiores o iguales a la aceleración de la
gravedad la normal N se anularía perdiendo el objeto el contacto con la viga.
Si llamamos B a la amplitud de oscilación de la viga en la posición donde está situado el
objeto A, la aceleración máxima que va a alcanzar la viga en su movimiento oscilatorio
2
será:amáx. = ω 2 B = (2πν ) B . Para valores de amáx. mayores que g en algún momento de
la oscilación de la viga el cuerpo A perderá el contacto con ella. Esto empieza a ocurrir
cuando el motor vibra con una frecuencia ν1 = 600rpm y deja de ocurrir cuando el
motor sobrepasa la frecuencia ν2 = 1200rpm . Es decir para frecuencias del motor entre
600 rpm y 1200 rpm la aceleración amáx. sobrepasa elvalor de g. Para las dos
frecuencias mencionadas amáx. iguala el valor de g. El valor de las amplitudes para estas
dos frecuencias será:
2

(2π ν i ) Bi = g

⇒

g
Bi =
(2πν i )2

⇒

⎧ B1 = 2.48mm
⎪
⎨
⎪ B2 = 0.62mm
⎩

€Una barra vertical con un resorte a su alrededor está rígidamente
unida € armazón de un motor que gira a una velocidad
al
constante. Después de que un...