Movimiento Armónico Simple

Departamento de Física Aplicada

E.T.S. Ingeniería Industrial U.C.L.M.

Laboratorio de Fundamentos Físicos de la Ingeniería

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Péndulo simple y péndulo compuesto
Un caso especial de movimiento ocurre cuando la fuerza que actúa sobre un cuerpo es proporcional al desplazamiento de dicho cuerpo desde la posición de equilibrio. Cuando esta fuerza actúa siempre haciala posición de equilibrio, habrá un movimiento repetitivo entorno a esta posición de equilibrio, llamado movimiento periódico u oscilatorio. Un caso muy importante dentro de este tipo de movimientos es el movimiento armónico simple (MAS).

1. OBJETIVO Analizar en que consiste el movimiento periódico. Estudio especifico para el caso de péndulo simple y compuesto. 2. FUNDAMENTOS 2.1 Dinámica delM.A.S. Si una partícula se mueve a lo largo del eje x, y su desplazamiento desde el punto de equilibrio varia con el tiempo según la expresión
x(t ) = A·cos(ωt + φ ) (1)

donde ω , A y φ son constantes del movimiento diremos que dicho movimiento es un movimiento armónico simple. A es la amplitud del movimiento, es el desplazamiento máximo (positivo o negativo) de la partícula en la dirección dex. el ángulo φ recibe el nombre de constante de fase. Estas dos constantes A y φ nos indican cual era el desplazamiento en t=0 .La cantidad (ωt + φ ) es conocida como fase del movimiento. La función x es periódica y se repite a sí misma cuando ωt aumenta en 2π rad.

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Fig. 1

El período del movimiento T, es el tiempo que tarda la partícula en completar un ciclo. Es decir, el valor de x enel tiempo t es igual al valor de x en un tiempo t+T. Así podemos demostrar que

ωt + φ + 2π = ω (t + T ) + φ 2π T= ω

(2)

El inverso del período recibe el nombre de frecuencia del movimiento, f. Esta representa el número de oscilaciones que efectúa la partícula por unidad de tiempo. Las unidades de f son ciclos/s o hertz (Hz). f = 1 ω 2π = →ω = T 2π T (3)

la constante ω recibe el nombrede frecuencia angular, y tiene unidades de radianes por segundo. La velocidad de una partícula que experimenta un MAS diferenciando la expresión (1) respecto del tiempo v= Del mismo modo la aceleración a= dv = −ω 2 A·cos(ωt + φ ) dt (5) dx = −ωA·sen(ωt + φ ) dt (4)

De las expresiones (1) y (5) tendríamos a = −ω 2 x La fuerza que debemos aplicar a una partícula para que siga un MAS será: F = −mω 2 x (7) (6)

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Ya podemos obtener la ecuación de la dinámica del movimiento armónico simple d 2x + ω2x = 0 2 dt (8)

2.2 Caso particular del movimiento de un péndulo simple
Un péndulo simple consiste en una partícula de masa m suspendida de una cuerda de longitud l, y masa despreciable. El extremo superior de la cuerda esta fijo en el punto O. El sistema podrá oscilar respecto de estepunto (ver figura 1). La situación de equilibrio del sistema, será aquella en la que la masa suspendida se encuentre en el punto C. Si desplazamos la partícula fuera del equilibrio, hasta el punto B y la soltamos, esta comenzará a oscilar entre el punto B y el simétrico B’.

Fig. 2 Las fuerzas que actúan sobre la masa son la ejercida por la cuerda T y la fuerza gravitacional. La componentetangencial de la fuerza gravitacional mg ·sen(θ ) actúa siempre hacía θ = 0 opuesta al desplazamiento, de este modo la ecuación del movimiento (en la dirección tangencial) es Ft = − mg ·senθ = m d 2s dt t (9)

donde s es el desplazamiento medido a lo largo del arco y el signo menos indica que dicha fuerza actúa siempre hacia la posición de equilibrio. Como s = lθ y l es constante
d 2θ g = − senθ 2dt l Si ahora tomamos la aproximación senθ ≈ θ (válida para ángulos pequeños) tendremos d 2θ g =− θ 2 dt l

(10)

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Es fácil darse cuenta que esta última expresión es similar a la expresión (8) y tenemos

ω=

g l ⇒ T = 2π l g

(11)

Es decir, la frecuencia y el periodo de un péndulo simple dependen únicamente de la longitud de la cuerda y del valor de g.

2.2 Caso particular del...