Movimiento circular y otras aplicaciones de la leyes de newton

MOV. CIRCULARES:
Un aparato de un parque de atracciones consiste en un gran cilindro vertical que gira alrededor de su eje lo suficientemente rápido para que cualquier persona que se encuentre dentro de él se mantenga pegada contra la pared cuando se quita el piso. El coeficiente de rozamiento es µ = 0.4 y el radio del cilindro es R = 4 m. a) Encontrar el periodo máximo de revolución para evitarque la persona caiga. b) ¿Cuántas revoluciones por minuto realiza el cilindro? Solución: I.T.I. 93, 96, I.T.T. 00 Texto solución

La masa de un péndulo de 2 m de longitud describe un arco de circunferencia en un plano vertical. Si en la posición de la figura la tensión de la cuerda es 2.5 veces el peso de la masa, hallar la velocidad y aceleración de la masa en dicho instante.

30ºSolución: I.T.I. 93, I.T.T. 00 Texto solución

Física

Dinámica de la Partícula

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Un bloque está sostenido por una mesa giratoria que, partiendo del reposo, gira de modo que la aceleración tangencial es de 1 m/s2. Si el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la mesa es de 0.5 determinar el tiempo que tarda el bloque en deslizar y su velocidad en dicho instante. ¿Cuál seráel menor tiempo para alcanzar una velocidad de 2 m/s sin deslizar? Distancia del bloque al centro d = 2 m. Solución: I.T.I. 00, 03, I.T.T. 04 Como parte del reposo y la aceleración tangencial es constante:

at =

dv dt

v

t

⇒

dv = at dt

⇒

∫ dv = ∫ at dt
0 0

⇒

v = at t (1)

Con lo que la aceleración normal y el módulo de la aceleración del bloque valdrán:

an =

v 2a2 2 = t t d d

⇒

a=

2 at2 + an = at

⎛ a 2 ⎞ 1 + ⎜ t ⎟ t 4 ⎝ d ⎠

Esta aceleración es producida por la fuerza de rozamiento del bloque con la mesa giratoria (es la única fuerza horizontal):

Froz.est. = ma = mat

⎛ at 2 ⎞ 4 1+ ⎜ ⎟ t ⎝ d ⎠

En el instante tdesl. en que comienza a deslizar, la fuerza de rozamiento estática alcanza su valor máximo:
⎛ at 2 ⎞ 4 1 + ⎜⎟ tdesl . ⎝ d ⎠ ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
2 ⎤ 4 ⎛ d ⎞ ⎡ ⎛ µ est. g⎞ tdesl. = ⎜ ⎟ ⎢ ⎜ − 1⎥ = 3.13 s ⎝ at ⎠ ⎢ ⎝ at ⎟ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 1 2 1

Froz.est.máx. = ma = m at

⇒

Froz.est.máx. = µ est. N = µest. mg

Y la velocidad en dicho instante será:
1

v (t desl. ) = at tdesl . =

⎡ ⎛ µ g⎞ 2 ⎤ 4 (at d ) ⎢⎜ est. ⎟ − 1⎥ = 3.13 m / s ⎢ ⎝ at ⎠ ⎥ ⎣ ⎦
1 2

Si queremosalcanzar una velocidad v partiendo del reposo con una aceleración tangencial at el tiempo t que tardaremos lo podemos calcular a partir de la ecuación (1): v t(v ) = y será tanto más pequeño cuanto mayor sea la aceleración tangencial at. En at todo caso este tiempo debe ser siempre inferior al tiempo que tarde el bloque en deslizar, ya que queremos conseguir dicha velocidad sin que el bloquedeslice:
Física Dinámica de la Partícula Página 2

v ⎛ d ⎞ ≤ at ⎜ at ⎟ ⎝ ⎠

1 2

⎡ ⎛ µ g⎞ ⎤ ⎢ ⎜ est. ⎟ − 1⎥ ⎢ ⎝ at ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

2

1 4

⇒

d 2 a2 − µest. gd 2 at + v 4 ≤ 0 t

La inecuación anterior se cumple siempre que:

⎡ ⎡ 1 4v 4 ⎤ 1 4v 4 ⎤ µest .g⎢1− 1− 2 2 2 ⎥ ≤ at ≤ µ est. g⎢1+ 1− 2 2 2 ⎥ 2 µest. g d ⎥ 2 µ est. g d ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(basta conencontrar las raíces de la ecuación d 2 at2 − µest. gd 2 at + v 4 = 0 y verificar que d 2 at2 − µest. gd 2 at + v 4 ≤ 0 para at entre dichos valores). Como cuanto mayor es la aceleración tangencial menor es el tiempo necesario para alcanzar una determinada velocidad tenemos que el tiempo mínimo necesario para alcanzar una velocidad v será:
v at ,máx 2v ⎡ 4v 4 ⎤ ⎢1 + 1− 2 2 2 ⎥ = µest. g ⎢ µest.g d ⎥ ⎣ ⎦
−1

tmín. (v ) =

Para la velocidad v1 = 2 m/s que nos dan en el enunciado:

tmín. (v1 ) = 0.5 s

ω
Una pequeña arandela de m = 100 g se desliza a lo largo de un alambre de radio R = 10 cm como el de la figura, que gira a razón de ω = 2 rev/s. Calcular el valor de θ para que la arandela quede en equilibrio. R

θ

Solución: I.T.I. 04, I.T.T. 00 Dibujando el diagrama...