movimiento curvilineo

Movimiento curvilíneo
Supongamos que el movimiento tiene lugar en el plano XY. Situamos un origen y unos ejes y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil. Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:
Vector posición.
Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t, el móvil se encuentra en el punto P, o enotras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'.
Diremos que el móvil se ha desplazado Δr=r’-r en el intervalo de tiempo Δt=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.
 
 
 
 



Vector velocidad
El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vectordesplazamiento Δr y el tiempo que ha empleado en desplazarse Δt.
=r'−rt'−t=ΔrΔt
El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P1 cuando se calcula la velocidad media entre los instantes t y t1.
 
 
 
 
El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.v=limΔ t→0ΔrΔt=drdt
Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.
En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad vcuya dirección es tangente a la trayectoria endicho punto.
 
Vector aceleración
En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad vcuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.
En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'.
El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferenciaΔv=v’-v.
Se define laaceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad Δv y el intervalo de tiempo Δt=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio.
=v'−vt'−t=ΔvΔt
Y la aceleración a en un instante
a=limΔ t→0ΔvΔt=dvdt
Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son
x=x(t)  vx=dxdt  ax=dvxdty=y(t)  vy=dydt  ay=dvydt
La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimientorectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z.
Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.
Ejemplo 1:
Un automóvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares,en función del tiempo están dadas por las expresiones: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1 m. Calcular:
Las componentes de la velocidad en cualquier instante.
vx=dx/dt=6t2-6t  m/s
vy=dy/dt=2t-2 m/s
Las componentes de la aceleración en cualquier instante.
ax=dvx/dt=12t-6 m/s2
ay=dvy/dt=2 m/s2
Ejemplo 2:
Un punto se mueve en el plano de tal forma que las componentes rectangulares de la velocidad enfunción del tiempo vienen dadas por las expresiones: vx=4t3+4t, vy=4t m/s. Si en el instante inicial t0=0 s, el móvil se encontraba en la posición x0=1, y0=2 m. Calcular:
Las componentes de la aceleración en cualquier instante
ax=dvxdt=12t2+4 m/s2ay=dvydt=4 m/s2
Las coordenadas x e y, del móvil, en función del tiempo.
Dada la velocidad vx=4t3+4t del móvil, el desplazamiento x-1 entre los instantes 0y t se calcula mediante la integral
x−1=∫0t(4t3+4t)dtx=t4+2t2+1 m
Dada la velocidad vy=4t del móvil, el desplazamiento y-2 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la integral
y−2=∫0t(4t)dty=2t2+2 m
Ejemplo 3:
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento,...