Movimiento De La Luna y Leyes De Cassini

9. MOVIMIENTO DE LA LUNA 9.1 Rotación de la Luna. Leyes de Cassini Es un hecho de observación corriente que la Luna presenta siempre la misma cara hacia la Tierra; dicho de otra forma, vemos los accidentes de su superficie siempre aproximadamente en la misma posición sobre el disco. Interpretamos esta observación como una prueba de la rotación de la Luna alrededor de un eje que forma con el planode su órbita un ángulo poco distinto de 90º, siendo la duración de la rotación igual a la de su revolución sideral alrededor de la Tierra. Las leyes por la que se rige esta rotación fueron enunciadas por J.D. Cassini en 1721 quien las dedujo de la observación. Posteriormente, Lagrange y Laplace las incorporaron a la Mecánica Celeste, admitiendo que la forma de la Luna es similar a la de unelipsoide de tres ejes cuyo eje mayor está constantemente dirigido hacia la Tierra, coincidiendo el eje menor con el de rotación de la Luna. De todos modos, por diferir muy poco entre sí las longitudes de los ejes de dicho elipsoide, en el estudio de las libraciones, si interesa, se puede considerar la Luna esférica. Sea (Fig.l.9) N el nodo descendente del ecuador lunar sobre la eclíptica. Las leyes deCassini pueden enunciarse de la siguiente forma: 1ª) El nodo N coincide sensiblemente con el nodo ascendente medio de la órbita lunar. 2ª) La inclinación I del ecuador lunar sobre la eclíptica es sensiblemente constante ( I = 1º 32 ' 6 '' ). La inclinación media del ecuador lunar sobre la órbita es i ' + I = 6º 41 ' . 3ª) Si X es el punto hacia el cual va dirigido el eje mayor del elipsoide al quese asimila la Luna, la suma de los arcos ϒN y NX es aproximadamente igual a la longitud media de la Luna disminuida en 180º.

9.1.1 Libraciones físicas Las leyes de Cassini son aproximadas. La coincidencia de los nodos no es rigurosa, de modo que en N no tenemos un punto sinó un pequeño triángulo; la inclinación I presenta fluctuaciones de amplitud muy pequeña, y la dirección del eje mayorpuede separarse algunas centésimas de grado de la que hemos definido. Estas pequeñas desviaciones constituyen la libración física que se determina a partir de la teoría dinámica de la rotación de la Luna. Sea (Fig. 2.9) x, y, z un sistema de coordenadas rectangulares selenocéntricas cuyos ejes coinciden con los ejes principales de inercia de la Luna y su origen con el centro de gravedad de la misma;el eje x orientado hacia la Tierra, el eje y perpendicular a él de modo que el sistema esté orientado en sentido directo y el eje z en la dirección del eje de giro de la Luna. Por otra parte, sean, con respecto a estos ejes, p, q, r los cosenos directores del eje de la eclíptica y λ, µ, ν los del radio vector Tierra-Luna. p, q, µ y ν son pequeños mientras que r = λ ≈ 1.

Supongamos la Tierraesférica, de masa M y a una distancia R, constante, de la Luna y llamemos A, B y C a los momentos de inercia de la Luna con relación a los ejes coordenados. Sean (ωx, ωy, ωz) las componentes de la velocidad angular de la Luna en dicho sistema x, y, z. Las dos primeras son pequeñas y sus cuadrados y productos podrán despreciarse. Recordemos la ecuación de Euler generalizada relativa al movimiento de uncuerpo en rotación (2.6): (1.9) Iω + ω ∧ Iω = N donde I es el tensor de inercia que en el caso que estamos considerando se escribe ⎡A 0 0⎤ I = ⎢0 B 0⎥ (2.9) ⎢ ⎥ ⎢0 0 C⎥ ⎣ ⎦

y N el momento de las fuerzas exteriores que supondremos limitadas a la de atracción de la Tierra,

N=

3GM R ∧ IR R5

(3.9)

Desarrollando (1.9) tendremos:
3GM ⎫ C − B ) µν ⎪ 3 ( R ⎪ 3GM ⎪ Bω y + ( A − C ) ω zω x= A − C )νλ ⎬ 3 ( R ⎪ 3GM ⎪ Cω z + ( B − A ) ω xω y = B − A ) λµ ⎪ 3 ( R ⎭ Aω x + ( C − B ) ω yω z =

(4.9)

y despreciando cantidades pequeñas de segundo orden:

⎫ ⎪ ⎪ 3GM ⎪ Bω y + ( A − C ) ω zω x = A − C )ν ⎬ 3 ( R ⎪ 3GM ⎪ Cω z B − A) µ ⎪ = 3 ( ⎭ R Aω x + ( C − B ) ω yω z = 0

(5.9)

Consideremos la tercera ecuación de (5.9) que por contener solamente ω z puede ser estudiada...