Movimiento De Un Cohete

Universidad de Oriente
Núcleo de Bolívar
Unidad de cursos básicos
Matemáticas IV

Profesor:

Bachilleres:

Cristian Castillo

Yessica Flores
María Palma
Roselvis Flores

Ciudad Bolívar; Marzo de 2010

Movimiento de un Cohete
Uno de los casos más emblemáticos de los modelos matemáticos, es decir
muy significativo o representativo es el movimiento de un cohete que
consume unafracción importante de combustible.
 Un cohete se mueve por la expulsión hacia atrás de una masa de gas
formada al quemar un combustible. Este rechazo de masa tiene el
efecto de aumentar la velocidad hacia adelante del cohete,
permitiendo así continuar hacia adelante. Para consid erar el
Movimiento de cohetes, debemos tratar la noción de un objeto cuya
masa es cambiante.
 Para analizar elmovimiento de un cohete, se puede estudiar a través:
Cantidad de movimiento y a
La tasa de Cambio en Momentum (2da ley de Newton).
En nuestro caso estudiaremos el movimiento del cohete, utilizando la
Segunda Ley de Newton.
La ecuación diferencial de un cuerpo en Caída Libre de masa m cercana a la
superficie de la tierra es:
O simplemente

; donde:

S: representa la distancia de lasuperficie terrestre al objeto y se
considera que la dirección positiva es hacia arriba.
En otras palabras, lo que se supone aquí es que las distancias que recorre el
objeto es pequeña en comparación con el radio de la tierra (R), dicho de otra
manera, la distancia “Y” del centro de la tierra al centro es aproximadamente
igual a “R”.
Si por otro lado, la distancia “Y” a un objeto como un cohete ouna sonda
espacial es grande en comparación con “R”, se puede combinar con la 2da
Ley del Movimiento de Newton, con la ley de Gravitación Universal, (también
de Newton); para deducir una Ecuación diferencial en la variable “Y”.

1. Se considera el movimiento del cohete positivo hacia arriba.
2. Se desprecia la resistencia del aire.
3. La gravedad es constante
Caída Libre (Demostración).S

t=?

2 da Ley de Newton

La Ecuación diferencial del movimiento del cohete después de quemar el
combustible es:

Donde
K= es una constante de proporcionalidad
Y= distancia del centro de la tierra del cohete.
m= masa del cohete.
M= masa del combustible.
Para calcular la constante k aprovechamos que cuando
y se obtuvo

Ecuación (2).

ecuación (3)

Luego se tiene que:sustituyendo (2) y (3) en (1).
Queda
Ecuación Diferencial
Como

es la velocidad podemos expresar la declaración de la forma

; Regla de la Cadena
Ecuación (4)
Sustituyendo 4 en (1)
; sustituyendo
Ecuación (5)
La Ecuación (5) se puede resolverá aplicando la técnica de variables
separables:
; Integrando

Ecuación 6
Si suponemos que la velocidad del cohete
cuando se acaba elcombustible y que
en ese momento, podemos aproximar el valor de C
de la siguiente manera:

Se llegó así:

Al sustituir ese valor de “C” de nuevo en la ecuación (6) y multiplicar por 2 la
ecuación (para eliminar las fracciones) resultantes, se obtiene:

Para considerar el movimiento de cohetes, debemos tratar la noción de un
objeto cuya masa es cambiante.
Teniendo en cuanta que la fuerza netaactuando sobre un objeto es igual a la
tasa de cambio en momentum (Segunda Ley de Newton), usaremos esto
para encontrar la ley de movimiento de un cohete.

Si “M” es la masa de un cohete en un tiempo “t” y que un tiempo mas
tarde es
la masa será
esto es, una masa
de
gas expelido por la parte de atrás del cohete, es decir en el tiempo
Suponiendo que la velocidad del cohete relativa a latierra en el tiempo
“t” es “V” y en el tiempo
es
y tomando la dirección
hacia arriba del cohete como positiva, el gas expelido tendrá velocidad
relativa a la tierra, donde es una cantidad negativa, de modo
que – representa la magnitud real de la velocidad del gas relativa al
cohete, y se considera constante.

El Momentum total del cohete antes de la perdida de gas es
Después de la perdida...