movimiento fuerzas centrales

Movimiento Bajo la Acci´
on de una
Fuerza Central
Mario I. Caicedo
Departamento de F´ısica, Universidad Sim´on Bol´ıvar

´Indice
1. Introducci´
on al Momentum Angular

3

2. Ley de las Areas

6

3. Leyes de Kepler

7

3.1. Descubriendo la Ley de Gravitaci´on Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.2. La ley de “cubos y cuadrados” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

11

4. Consideraciones energ´
eticas: El Potencial Efectivo
1

12

5. Introducci´
on al Problema de Kepler

15

6. Resumen

19

7. Problema de Revisi´
on

20

8. Problemas propuestos

22

9. Tema Avanzado I: Ecuaci´
on de la ´
orbita

24

10.Tema avanzado II: Soluci´
on al al Problema de Kepler

26

11.Ap´
endice: Secciones C´
onicas

29

2

1.

Introducci´
on al Momentum AngularConsideremos una part´ıcula que se mueve bajo la acci´on de una fuerza central, esto es, una

fuerza paralela a la l´ınea que une a la part´ıcula con un punto fijo (O) denominado el centro de
fuerzas y cuya magnitud solamente depende de la distancia entre la part´ıcula dicho punto1 .
Por el momento supondremos que el movimiento ocurre en un plano (afirmaci´on que probaremos m´as adelante). Estas hip´otesissobre la fuerza y el movimiento sugieren utilizar un
sistema de coordenadas polares centrado en O, lo que permite escribir directamente las siguientes expresiones generales para fuerza y la aceleraci´on
F = F (r) uˆr

(1)

˙ uˆθ
a = (¨
r − r θ˙2 ) uˆr + (r θ¨ + 2 r˙ θ)

(2)

Al utilizar la segunda ley de Newton obtenemos las siguientes ecuaciones para r y θ
F (r)
r¨ − r θ˙2 =
M
r θ¨ + 2 r˙ θ˙ = 0(3)
(4)

donde evidentemente M representa la masa de la part´ıcula. La ecuaci´on (4) permite concluir
que (vea el problema (1))
M r2 θ˙ = = constante.

(5)

Concentr´emonos por un momento en la igualdad (5). En primer lugar debemos recalcar que
la constancia de
1

no implica que la distancia al origen de coordenadas (r) ´o la velocidad

si quiere imaginar un ejemplo aproximado piense en larotaci´on anual de la tierra en su orbita alrededor del

sol

3

˙ sean constantes. Lo que es constante es el producto de ambas cantidades. Esta
angular (θ)
observaci´on tiene una implicaci´on geom´etrica acerca del movimiento de la part´ıcula sobre la
cual comentaremos m´as adelante (v´ease la seci´on 2). En segundo lugar, observemos que la
igualdad (5) se puede reescribir en la forma
˙ = r × M rθˆ
˙uθ. kˆ
= r(M rθ)

(6)

donde kˆ = uˆr × uˆθ es un vector unitario ortogonal al plano en que ocurre el movimiento. La
f´ormula (6) no dice mucho, sin embargo, si recordamos que uˆr × uˆr = 0 podemos a˜
nadir un 0
en la f´ormula (6) para obtener una nueva expresi´on para
˙uθ + M rˆ
= r × (M rθˆ
˙ ur ) . kˆ

(7)

˙uθ , as´ı que,
ahora bien, en coordenadas polares la velocidad se escribe en la forma: v= rˆ
˙ ur + rθˆ
al usar que el momentum de una part´ıcula se define como p = M v, podemos concluir finalmente
que el n´
umero

puede expresarse de manera bastante natural en t´erminos de dos cantidades

f´ısicas (la posici´on y el momentum) muy bien definidas seg´
un:
= (r × p) . kˆ
Ahora bien, evidentemente r × p es un vector ortogonal al plano y

(8)
no es otra cosa que su

proyecci´on a lolargo del vector kˆ = uˆr × uˆθ . En definitiva, y recapitulando hasta este punto,
hemos encontrado que:
Si el movimiento bajo la acci´on de una fuerza central es en un plano entonces el
vector
L≡r×p
4

(9)

es constante.
El vector L denominado Momentum Angular es una cantidad f´ısica de importancia fundamental
que aparece inexorablemente ligada a la descripci´on de la din´amica de objetos nopuntuales,
cabe comentar que la definici´on del momentum angular (f´ormula (9)) es bastante natural y que
surge inducida por el hecho de que la fuerza es central.
Nuestro resultado acerca de la constancia de L depende de introducir la hip´otesis simplificadora seg´
un la cual el movimiento es en un plano. Cabe preguntarse acerca de la validez
de esta hip´otesis. A continuaci´on utilizaremos la la...