Movimiento Libre

MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO


Consideremos un sistema-masa resorte, en donde un resorte flexible se suspende verticalmente de un soporte r´
ıgido y luego se une una masa m a su extremo libre.Existe tambi´n
e
una fuerza amortiguada Famortiguadora considerada proporcional a la velocidad instant´nea
a
del sistema v , digamos Famortiguadora = bv .
Sabemos que por la Ley de Hooke, el resorteejerce una fuerza restauradora Fresorte = ks
opuesta a la direcci´n de alargamiento y proporcional a la cantidad de elongaci´n s en donde
o
o
k es una constante de proporcionalidad llamadaconstante de resorte.
En un diagrama de cuerpo libre, tenemos
k (s + x) + Famortiguadora

m
mg
+

Deducimos por la segunda ley de Newton que
ma = mg − k (s + x) − Famortiguadora = mg − ks − kx −Famortiguadora
Notemos que los t´rminos mg y ks son iguales en t = 0, por lo que
e
ma = −kx − Famortiguadora
ma + bv + kx = 0
Escrito de otra forma,
(1)

my + βy + kx = 0
1

´
´
CARLOSLOPEZ CAMEY Y MART´ GUZMAN
IN

2

Con condiciones iniciales y (0) = s = xo y y (0) = vo
´
2. Solucion
Re-escribiendo (1) tenemos:
y + 2λy + ω 2 y = 0

(2)
en donde escogemos 2λ =

b
m

yω2 =

k
m

por conveniencia algebra´
ıca.

Tenemos una ecuaci´n lineal homog´nea con coeficientes constantes, cuyo polinomio
o
e
caracter´
ıstico es
m2 + 2λm + ω 2 = 0
con ra´
ıces enm1 = −λ +

λ2 − ω 2

m2 = −λ − λ2 − ω 2
Notemos entonces que existen tres diferentes casos para las ra´
ıces i.e. soluciones

2.1. Caso 1: Si λ2 − ω 2 > 0 entonces, tenemos dos solucionesreales y decimos que el
sistema est´ sobreamortiguado, por que el coeficiente de amortiguamiento β es grande
a
comparato con la constante de resorte k . La soluci´n correspondiente a 2 y porconsiguiente
o
a la expresi´n que modela el movimiento en funci´n del tiempo es,
o
o
y (t) = c1 em1 t + c2 em2 t
En donde sabemos que y (0) = xo , por lo tanto
y (0) = xo = c1 + c2 =⇒ c1 = xo − c2...