Movimiento Obrero

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LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS

Página 213 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
Cónicas abiertas: parábolas e hipérbolas
I

Completa la siguiente tabla, en la que α es el ángulo que forman las generatrices con el eje, e, de la cónica y β es el ángulo del plano π con e.
β = 90° π
PASA POR

β>α

β=α

β r → La recta s1 es exterior a la circunferencia. d2 < r → La recta s2 y lacircunferencia son secantes. d3 = r → La recta s3 es tangente a la circunferencia.

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1. Halla la ecuación de la elipse de focos F1(4, 0), F2(–4, 0) y cuya constante es 10. Una vez puesta la ecuación inicial, pasa una raíz al segundo miembro, eleva al cuadrado (¡atención con el doble producto!), simplifica, aísla la raíz, vuelve a elevar al cuadrado y simplifica hasta llegar a la ecuación 9x2 + 25y 2 = 225. Si P (x, y) es un punto de la elipse, entonces: dist (P , F1) + dist (P , F2) = 10 √(x – 4)2 + y 2 + √(x + 4)2 + y 2 = 10 √(x – 4)2 + y 2 = 10 – √(x + 4)2 + y 2 Elevamos al cuadrado: (x – 4)2 + y 2 = 100 + (x + 4)2 + y 2 – 20 √(x + 4)2 + y 2 Operamos: x 2 – 8x + 16 + y 2 = 100 + x 2 + 8x + 16 + y 2 – 20 √(x + 4)2 + y 2 20 √(x + 4)2 + y 2 = 16x + 100 5 √(x + 4)2 + y 2 = 4x + 25Elevamos al cuadrado: 25(x 2 + 8x + 16 + y 2) = 16x2 + 200x + 625 Simplificamos: 25x 2 + 200x + 400 + 25y 2 = 16x 2 + 200x + 625 → 9x 2 + 25y 2 = 225

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

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2. Halla la ecuación de la hipérbola de focos F1(5, 0), F2(–5, 0) y cuya constante es 6. Simplifica como en el ejercicio anterior hasta llegar a la expresión 16x 2 – 9y 2 = 144. Si P (x, y) es un puntode la hipérbola, entonces: |dist (P , F1) – dist (P , F2)| = 6 dist (P , F1) – dist (P , F2) = ±6 √(x – 5)2 + y 2 – √(x + 5)2 + y 2 = ±6 √(x – 5)2 + y 2 = ±6 + √(x + 5)2 + y 2 Elevamos al cuadrado: x 2 – 10x + 25 + y 2 = 36 + x 2 + 10x + 25 + y 2 ± 12 √(x + 5)2 + y 2 ±12 √(x + 5)2 + y 2 = 20x + 36 ±3 √(x + 5)2 + y 2 = 5x + 9 Elevamos al cuadrado: 9 (x 2 + 10x + 25 + y 2) = 25x 2 + 90x + 81 9 x 2+ 90x + 225 + 9y 2 = 25x 2 + 90x + 81 16x 2 – 9y 2 = 144 3. Halla la ecuación de la parábola de foco F (–1, 0) y directriz r: x = 1. Simplifica hasta llegar a la expresión y 2 = – 4x. Si P (x, y) es un punto de la parábola, entonces: dist (P , F) = dist (P , r) √(x + 1)2 + y 2 = |x – 1| Elevamos al cuadrado: x 2 + 2x + 1 + y 2 = x 2 – 2x + 1 Simplificamos: y 2 = –4x

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1. Una elipsetiene sus focos en los puntos F (5, 0) y F' (–5, 0) y su constante es k = 26. Halla sus elementos característicos y su ecuación reducida. Represéntala. • Semieje mayor: k = 26 → 2a = 26 → a = 13 — • Semidistancia focal: FF' = 10 → 2c = 10 → c = 5 • Semieje menor: b 2 = a 2 – c 2 = √169 – 25 = = √144 = 12 → b = 12 • Excentricidad: → exc ≈ 0,38 • Ecuación reducida: x2 + y 2 = 1 169 144 c 5 = ≈ 0,38 →a 13
–13 F' F 13 12

–12

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

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2. Representa y di su excentricidad: (x + 5)2 (y – 2)2 + =1 16 4 c = √16 – 4 = √12
2

exc =
–5

√ 12 ≈ 0,87
4

3. Representa y di su excentricidad: (x – 3)2 (y – 7)2 + =1 16 64 c = √64 – 16 = √48 exc =
7

√ 48 ≈ 0,87
8
3

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1. Una hipérbola tiene sus focos en los puntos F1 (5, 0) yF2 (–5, 0) y su constante es k = 6. Halla sus elementos característicos y su ecuación reducida. Represéntala. • Semieje: k = 2a = 6 → a = 3 — • Semidistancia focal: F1F2 = 10 → c = 5 • Cálculo de b: b 2 = c 2 – a 2 → → b = √25 – 9 = √16 = 4 → b = 4 • Excentricidad: exc = • Asíntotas: y = c 5 = ≈ 1,67 a 3
F1 –3 3 F2 4

4 4 x; y = – x 3 3

–4

2 2 • Ecuación reducida: x – y = 1 9 16

Unidad9. Lugares geométricos. Cónicas

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2. Representa: (x + 5)2 (y – 2)2 – =1 16 4
–5 2

3. Representa: (y – 7)2 (x – 3)2 – =1 64 16

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1. Halla la ecuación reducida de la parábola de foco F (1,5; 0) y directriz x = –1,5. Si P (x, y) es un punto de la parábola: dist (P, F) = dist (P, d), donde d es la directriz y F el foco. √(x – 1,5) 2 + y 2 = |x + 1,5| x...