Movimiento Osilatorio

Movimiento oscilatorio
2.1. Cinematica del movimiento armonico simple
Se dice que una partcula que se mueve a lo largo del eje x realiza un movimiento armonico
simple cuando su desplazamiento respecto a su posicion de equilibrio vara con el tiempo de
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 4
acuerdo con la relacion 1:
x(t) = A cos(!t + );
donde A, ! y  son constantes delmovimiento 2. La representacion graca de x = x(t) tiene
esta forma:
t
wt= p/2
wt= p wt=3 p/2
wt=2 p
T
A
x
Conceptos basicos en la descripcion de este tipo de movimiento son los siguientes:
A: Amplitud ! maximo desplazamiento de la partcula (negativo o positivo) respecto
de su posicion de equilibrio.
: Desfase inicial ! junto a la amplitud indica cuales son las condicionesiniciales del
movimiento. Se determina, como veremos mas adelante, a partir de la posicion y velocidad
iniciales.
!t + : Fase.
T: Periodo. Es el tiempo que necesita la partcula para realizar un ciclo completo de su
movimiento. Es decir, x(t) = x(t + T). En el tiempo T la fase aumenta 2.
!(t + T) +  = !t +  + 2 ! !T = 2 ! ! =
2
T
o T =
2
!
:
!: Frecuencia angular (se mide enel S.I. en rad/s).
f = 1=T : Frecuencia ! numero de oscilaciones por unidad de tiempo que realiza la
partcula: 2f = !. En el S.I. se mide en 1/s o herzios (Hz).
1Conviene recordar que las funciones sen x y cos x son periodicas: sen(x+2n) = sen x; cos(x+2n) = cos x.
Por lo que, como veremos mas adelante esta funcion para x(t) representa un movimiento periodico en el tiempo.2Sabiendo que cos x = sen(x+=2), se puede denir un MAS alternativamente segun x(t) = Asen(!t+ +
=2)  Asen(!t + 0).
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 5
t
x(t)
t
v(t)
t
a(t)
-A
-wA
-w A 2
d=0
La velocidad y la aceleracion de una partcula que realiza un MAS se obtienen sin mas que
derivar su posicion en funcion del tiempo:
v(t) =
dx
dt
= !Asen(!t + ) (1)
a(t) =dv
dt
= !2Acos(!t + ) = !2x(t): (2)
v(t) y a(t) son tambien funciones oscilantes y tienen la misma frecuencia que x(t), pero diferente
amplitud y desfase:
Amplitudes :
8><
>:
x ! xmax = A
v ! vmax = !A
a ! amax = !2A
Desfases :
(
x v ! =2
x a ! 
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 6
La amplitud, A, y el desfase, , del movimiento se obtienen a partir de lascondiciones
iniciales del siguiente modo:
x(t) = Acos(!t + ) ! x(t = 0)  x0 = Acos 
v(t) = A! sen(!t + ) ! v(t = 0)  v0 = A! sen :
Dividiendo ambas ecuaciones:
v0
x0
= ! tan  ! tan  =
v0
!x0
=)  = arctan


v0
!x0

: (3)
Por otra parte: 8
<
:
x0
A
= cos 

v0
A!
= sen 
Elevando al cuadrado y sumando:
x2
0
A2 +
v2
0
A2!2 = 1 ! A2 = x2
0 +
v2
0
!2 =) A =
x2
0 +
v2
0
!2
1=2
: (4)
Para concluir este apartado resumiremos las propiedades mas importantes de la cinematica del
MAS:
1. x(t), v(t) y a(t) son funciones oscilantes (senoidales) pero de diferentes amplitudes y
desfasadas entre s.
2. La aceleracion es proporcional al desplazamiento, pero en sentido opuesto.
3. La frecuencia y el periodo del movimiento son independientes de laamplitud.
2.2. Dinamica del movimiento armonico simple
Ahora que ya sabemos como describir el movimiento armonico simple, investigaremos sus
posibles causas, es decir, las fuerzas que lo provocan. El sistema fsico mas sencillo que da lugar
a un movimiento de este tipo es un muelle que horizontalmente sujeta una masa (y se desprecian
los rozamientos). Cuando la masa se desplazaligeramente de su posicion de equilibrio el muelle
ejerce una fuerza sobre ella proporcional a la elongacion pero con signo opuesto a ella y que
viene dada por la ley de Hooke,
f = kx;
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 7
donde k es una constante que depende de las caractersticas del muelle. Despejando la aceleraci
on (f = ma):
a =
k
m
x:
Luego al igual que en el MAS, la...