Movimiento Plano

MOVIMIENTO PLANO

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MOVIMIENTO PLANO
1. Definici´ n de movimiento plano. Propiedades.o
up
Se dice que un s´ lido r´gido “2” realiza un movimiento
o
ı
plano respecto a un triedro de referencia “1” si los desplazamientos de todos sus puntos son permanentemente paralelos a un plano de dicho triedro (plano director, πD ).

1

2

As´, por ejemplo, el movimiento que realiza el chasisde
ı
un coche, respecto a la calzada por la que este circula, es
´
un movimiento plano.

pD

La condici´ n de movimiento plano se puede expresar matem´ ticamente mediante la ecuaci´ n:
o
a
o
∀ P ∈ s´ l.r´g. “2” y ∀ t
o ı

−→

P
d r21 (t) · uπ = 0

donde uπ es el vector unitario normal al plano director πD .
El movimiento plano presenta las siguientes propiedades:
a) Los camposde velocidades y aceleraciones son paralelos al plano director.
Partiendo de la condici´ n de movimiento plano y utilizando la definici´ n de velocidad instant´ nea:
o
o
a
∀ P ∈ s´ l.r´g. “2” y ∀ t
o ı

−→

P
d r21 (t) · uπ = 0

P
dt v 21 (t) · uπ = 0

=⇒

P
v 21 (t) · uπ = 0

=⇒

om

Diferenciando la ultima ecuaci´ n (desde el punto de vista del triedro “1”) y utilizandola definici´ n de aceleraci´ n ins´
o
o
o
tant´ nea:
a
P
P
d v 21 (t) · uπ + v 21 (t) · d uπ = 0 =⇒ dt a P (t) · uπ = 0 =⇒ a P (t) · uπ = 0
21
21

aA

.c

=0

ic

b) Los vectores velocidad angular y aceleraci´ n angular son perpendiculares al plano director.
o

Fi
s

o
Multiplicando escalarmente por uπ la ecuaci´ n del campo de velocidades, y operando:
=⇒

−
−
→
QP(t) · [ uπ ∧ ω 21 (t)] = 0

=⇒

α 21 (t) =

ww

w.

−→
−
Q
P
uπ · [ v 21 (t) − v 21 (t) ] = 0 = uπ · [ ω 21 (t) ∧ QP (t) ]
=⇒

uπ ∧ ω 21 (t) = 0

=⇒

ω 21 (t) = ω 21 (t) uπ

c) Las distribuciones de velocidad y aceleraci´ n en cualo
quier plano paralelo al plano director son id´ nticas, rese
pectivamente, a las distribuciones de velocidad y aceleraci´ n en el planodirector.
o
−
−
→
Si P ∈ πD ,
/
O ∈ πD
y P O uπ ω 21 α 21 ,
se verifica que:
⎧
−
−
→
O
P
P
⎪ v 21 = v 21 + ω 21 ∧ P O = v 21
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
=0
−
−
→
−
−
→
⎪ O
⎪
⎪ a 21 = a P + α 21 ∧ P O + ω 21 ∧ (ω 21 ∧ P O) = a P
21
21
⎪
⎪
⎪
⎩
=0
=0
Como consecuencia de esta propiedad, el an´ lisis de un
a
movimiento plano se reduce al an´ lisis del movimiento
a
en el planodirector (problema bidimensional).

d ω 21 (t)
dt

1

=

−
−
→
para ∀ QP (t)

d ω 21 (t)
uπ = α 21 (t) uπ
dt

2

w 21

up

a 21

v 21

O

O

P
v 21

P
dr21

P

pD

O
a 21

P
a 21

1

´
´
FUNDAMENTOS FISICOS DE LA INGENIERIA

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d) El movimiento plano tiene tres grados de libertad, y su reducci´ n
o
can´ nica es una rotaci´ n instant´ nea en elcaso m´ s general.
o
o
a
a

pD

O
{ω 21 = ω 21 k ; v 21 = vx ı + vy j }

⊥ πD

πD

X

1

O
v 21

O

πD

Z

2

w 21

La reducci´ n cinem´ tica del movimiento plano en un punto arbitrao
a
rio O del plano director viene dada por:

Y

DO

O
donde ω 21 representa un grado de libertad de rotaci´ n, y v 21 repreo
senta dos grados de libertad de traslaci´ n.
oreducción cinemática
(en punto arbitrario O )

Por otra parte, la reducci´ n can´ nica de un movimiento plano viene
o
o
dada, en el caso m´ s general, por:
a
min
{ω 21 = 0 ; v 21 =

O
v 21

ω 21 ·
| ω 21 |

ω 21
= 0}
| ω 21 |

y se trata, por tanto, de una rotaci´ n instant´ nea (existe un eje inso
a
tant´ neo de rotaci´ n, ∆ EIR{21} ).
a
o
No obstante, dentro delmovimiento plano, pueden darse tambi´ n
e
los dos siguientes casos particulares:

Z

2

w 21

X

1
Y

I

pD
D EIR{21}

reducción canónica

.c

D EIR{21}

aA

2. Centro instant´ neo de rotaci´ n (C.I.R.).a
o

om

– Si ω 21 (t) = 0, entonces el movimiento es una traslaci´ n permanente paralela al plano director.
o
O
– Si existe en el plano director un punto O que...