Movimiento turbillonario axisimetrico

REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 38, No. 1, 2006

MOVIMIENTO TURBILLONARIO AXISIMETRICO Fabio Reyes, Carlos Jácome, J. C. Giraldo, Universidad Distrital, Francisco Jose de Caldas, Bogota, Colombia. (Recibido 23 de Sep.2005; Aceptado 11 de Enr.2006; Publicado 28 de Abr. 2006) RESUMEN
En este trabajo es realizado el estudio del Movimiento Turbillonario con simetría axial en un fluidoincompresible, no viscoso y estacionario, partiendo de la ecuación de movimiento de Euler, la cual se resuelve para el campo de velocidades

q

sujeta a un conjunto de condiciones de contor-

no adecuadas, las cuales a su vez son parte de este estudio, junto con el vector Torbellino Palabras claves: Movimiento Turbillonari, simetría axial

ζ

.

ABSTRACT
In this work, a vortex movement withaxial symmetry is studied in an incompressible, nonviscous, and stationary fluid; stemming from Euler’s equation on movement, which is solved for the

q

speed field subject to adequate boundary conditions, which are part of this study, along

with the

ζ

vortex vector.

Keywords: vortex movement, axial symmetry.

INTRODUCCION Si consideramos el movimiento de una esfera o cualquiersólido de revolución dentro de un fluido en reposo, en particular los movimientos de los planos paralelos al eje en la dirección del movimiento de los sólidos son los mismos, este tipo de movimiento se designa como Axisimetrico. Considerando el caso de simetría azimutal y variando esa simetría en un ángulo pequeño como será tratado a continuación; bien en este movimiento definimos una función decorriente ψ .El movimiento Turbillonario será descrito como la constancia del producto de la magnitud del torbellino por el área de sección transversal. MOVIMIENTO PERMANENTE El estudio realizado en la Universidad Distrital involucra el Movimiento de un sólido en el espacio, en un fluido incompresible, estacionario y sin viscosidad, cuando desarrollamos el campo de velocidades en el fluidoestableciendo una proporcionalidad entre este y la función de corrienteψ . Empezaremos citando la Ecuación de Movimiento de Euler que involucre el Torbellino, se tendrá: 257

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⎛p ⎞ ∂q − q × ζ = −∇⎜ + 1 q 2 + Ω ⎟ (1) ⎜ρ ⎟ 2 ∂t ⎝ ⎠ ˆ En donde Ω es un potencial de fuerza ( Ω = −∇f ), ς es el vector torbellino, q es la velocidad del fluido.

ˆ El vectortorbellino se designa por la letra griega zeta ζ , y es el rotor de la velocidad.

ζ = ∇×q
y de hecho se aplica el operador nabla a la ecuación anterior tendremos ∇.ζ = 0 , La div. ζˆ es cero, es decir, la variación del flujo es cero en todas partes. Al utilizar ∇ × en la ecuación (1) nos dará:

∂ζ − ∇ × q ×ζ = 0 (2) ∂t Como la velocidad es q = i x q x + iu q u para un movimiento axisimetrico,la ecuación (2) se
puede expresar como:

∂ζ ∂ (q x ζ ) ∂ (qu ζ ) + + =0 ∂t ∂x ∂u

(3)

Utilizando la ecuación de continuidad

función de corriente ψ , para un movimiento permanente se tendrá

∂ (q x u ) ∂ (qu u ) + = 0 y al pasar en términos de la ∂x ∂u

Si el Torbellino es igual a la velocidad radial por una función que depende de ψ ζ = uf ( ) ψ (4) Esta ecuación debe satisfacer elmovimiento permanente, el torbellino esta dado por:

⎡ ∂ψ ⎢ ∂x ⎢∂ ζ ⎛ ⎢ ⎜ ⎞ ⎟ ⎢ ⎣ ∂x ⎝ u ⎠

∂ψ ⎤ ∂u ⎥ = 0 , donde se demuestra que ζ Es función de ψ . ∂ ⎛ ζ ⎞⎥ u ⎜ ⎟⎥ ∂u ⎝ u ⎠⎥ ⎦

ζ =

∂q u ∂q x 1 ⎛ ∂ 2ψ ∂ 2ψ 1 ∂ψ ⎞ 1 2 ⎟= E ψ , − = ⎜ + − ∂x ∂u u ⎜ ∂x 2 ∂u 2 u ∂u ⎟ u ⎠ ⎝

(5)

donde

∂2 ∂2 1 ∂ , Cuando el movimiento es rotacional ∇ × q ≠ 0 , es posible + 2 − u ∂u ∂x 2 ∂u estableceruna relación entre ζ y la función de corriente ψ , ζ ≈ ψ ; es decir ζ = kψ .
E2 =
Así cuando el movimiento es permanente (4) y (5) se convierten en: 258

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E 2ψ = u 2 f (ψ )
Al emplear la ecuación para el torbellino y haciendo coordenadas esféricas de la forma :

ζ =

1 2 E ψ se obtienen ecuaciones en u

∂ ⎛ 1 ∂ψ ⎞ ∂ ⎜ ⎟+ ∂r ⎝ sin θ...