movimiento

Cap. 6 Series

MOISES VILLENA

6

1.1
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.

SERIES NUMÉRICAS INFINITAS
SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS
SERIES ALTERNANTES
SERIES DE POTENCIAS

Objetivo:
Se pretende que el estudiante:
• Determine convergencia o divergencia de
series.
• Emplee series para resolver problemas
numéricos.

105

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6. 1. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS6.1.1 DEFINICIÓN

Sea {a n } una sucesión infinita. Y sea
S n = a1 + a 2 + a3 + L + a n .

La sucesión de suma parciales

{S n } = {S1 , S 2 , S3 ,L} = {a1 , a1 + a2 , a1 + a2 + a3,L },

denotada como

∞

∑a

n

, se llama Serie Infinita.

n =1

Ejemplo
⎧1⎫
Sea la sucesión {a n } = ⎨ ⎬
⎩2n ⎭
⎧1 1 1
⎫
Algunos términos de la sucesión serían ⎨ , , , L⎬
248
⎩
⎭

Lasucesión de sumas parciales sería

{S1 , S 2 , S 3 , L} = ⎧ 1 , 1 + 1 , 1 + 1 + 1 , L⎫ = ⎧ 1 , 3 , 7 , L⎫
⎨
⎬⎨
⎬
⎩2 2

42

4

8

⎭

⎩2 4 8

⎭

6.1.2 CONVERGENCIA DE SERIES

Una serie S n = ∑ an , es convergente si y sólo si lim S n
n →∞

existe. Caso contrario; es decir, si lim S n no existe, se
n →∞

dice que la sucesión es divergente.
En caso de que la serie seaconvergente se dice que tiene suma S , es decir
ocurrirá que lim S n = S .
n →∞

Si tuviésemos S n o pudiéramos calcularlo, determinar la convergencia sería
muy sencillo. Estudiaremos en primer lugar las series geométricas y las series

106

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telescópica que si se les puede determinar S n , y luego mencionaremos criterios
para determinar convergencia ydivergencia de series cuando ya no tenemos S n

6.1.3

LA SERIE GEOMÉTRICA.

Una serie geométrica es de la forma

a + ar + ar 2 + ar 3 + L + ar n −1
La suma parcial de los n términos está dada por

Sn =

a (1 − r n )
. ¡Demuéstrela!
1− r

Para determinar su convergencia, deberíamos obtener

a (1 − r n )
.
n →∞
1− r

lím S n = lím
n →∞

a(1 − r n )
= ∞ (¿POR QUÉ?) y por tanto laObserve que si r ≥ 1 entonces lím
n →∞
1− r
serie geométrica es divergente

a(1 − r n )
a
=
Si r < 1 , entonces lím
la serie es convergente.
n →∞
1− r
1− r
Ejemplo
Determinar si la serie

111
+ + + es convergente o no.
248

SOLUCIÓN:
Observe que la secuencia dada es una serie geométrica con a =
∞

serie de la forma

∑
n =1

1
1
y r = es decir una
2
2

1

1
ypor tanto converge a S = 2 = 1
2n
1− 1
2

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6.1.4 SERIES TELESCÓPICA
Para este tipo de serie también es posible obtener S n , se lo hace
empleando fracciones parciales.
Ejemplo
∞

Sea la serie

∑

1

(n +1)(n + 2 ) . Obtener S n .

n =1

SOLUCIÓN:
Empleando fracciones parciales, tenemos:
1

A
B
+
n +1 n + 2
= A(n + 2 ) + B(n +1)

(n + 1)(n + 2)
1

=

Si n = −1 entonces:
1 = A(−1 + 2) + B(−1 + 1)
1= A

Si n = −2 entonces:
1 = A(−2 + 2) + B(−2 + 1)
1 = −B
B = −1

Por tanto:
∞

∑
n =1

∞

1
=
(n + 1)(n + 2)

∑
n =1

1⎞
⎛1
−
⎜
⎟
⎝ n +1 n + 2 ⎠

Obteniendo algunos términos de su desarrollo
∞

∑
n =1

1 ⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞
1⎞
⎛1
⎛1
−
−
⎜
⎟ = ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ +L+ ⎜
⎟
⎝n +1 n + 2 ⎠ ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 3 4 ⎠ ⎝ 4 5 ⎠
⎝ n +1 n + 2 ⎠

Note que al realizar la suma, los términos centrales se suprimen quedando el primer y el
último término.
Entonces S n = 1 −

1
1⎞
⎛
, por tanto lím S n = lím ⎜1 −
⎟ =1
n →∞
n →∞⎝
n+2
n+2⎠

La serie es convergente

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Ejercicios Propuestos 6.1
1.Encuentre la serie infinita que es lasecuencia indicada de suma parcial. Si la serie es
convergente, encuentre su suma. (SUGERENCIA: Hallar a n , sabiendo que
S n = S n −1 + a n )

⎧1⎫
a) {S n } = ⎨ n ⎬
⎩2 ⎭

{S n } = {ln(2n + 1)}

b)

2.Encuentre S n y determine si las series son convergentes o divergentes. Si es convergente
determine su suma:
+∞

+∞

a)

∑
n =1

1
n(n + 1)

b)

n =1

+∞

c)

∑
n =1...