MOVIMIENTOS CIRCULARES

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
ESCUELA DE GRADUADOS
CONCEPCIÓN-CHILE

ALGEBRA
Y
TRIGONOMETRIA
Myriam Ortega Saavedra, Miryam Vicente Parada y otros.
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

2003

Índice general
1. LOGICA Y TEORIA DE CONJUNTOS
1.1. ELEMENTOS DE LOGICA . . . . . . .
1.2. CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. CUANTIFICADORES LOGICOS. . . .
1.4. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . .

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Capítulo 1
LOGICA Y TEORIA DE
CONJUNTOS
1.1.

ELEMENTOS DE LOGICA

Toda estructura matemática supone la necesidad de razonar en forma
válida y el uso deun lenguaje apropiado. Por esto es necesario una gran simpli…cación y el uso de un simbolismo adecuado e inequívoco que nos permita
razonar válidamente mediante reglas …jadas con claridad.
La LOGICA SIMBOLICA y la TEORIA DE CONJUNTOS nos
permiten adquirir este simbolismo y el esquema de un razonamiento deductivo.
De…nición 1.1.1 Una PROPOSICION es una expresión con sentido en
un lenguaje, quea…rma o niega algo y proporciona una información. Usaremos el término proposición para designar una expresión de la cual tenga
sentido inequívoco decir si es verdadera o falsa en un cierto contexto. Simbolizaremos las proposiciones con letras minúsculas p; q; r; s; etc:
Los VALORES DE VERDAD, verdadero (V ) y falso (F ) ; los consideraremos conceptos primitivos.
De…nición 1.1.2 El CONECTIVOLOGICO es un símbolo que permite
obtener nuevas proposiciones a partir de proposiciones dadas. Los conectivos
son: no; y; o; si...entonces...; si y sólo si.

1

CAPÍTULO 1: Lógica y Teoría de Conjuntos
Las proposiciones pueden ser de dos tipos:
1) ATOMICAS O SIMPLES: las que no incluyen conectivos.
Por ejemplo:
p : “Pedrito es un niño muy estudioso”
q : “El padre de Pedrito es un hombrefeliz”
2) MOLECULARES O COMPUESTAS: Las que se obtienen combinando proposiciones átomicas mediante conectivos.
Por ejemplo:
r : “Si Pedrito es un niño muy estudioso, entonces el padre de Pedrito
es un hombre feliz”
De…nición 1.1.3 Se llama NEGACION de una proposición p; a la proposición “no p”
.
Notación 1.1.1

v p;

p; p;

Este es el único conectivo que actúa sobre una solaproposición.
La proposición v p es verdadera si la proposición p es falsa y, es falsa si
p es verdadera. Esto se esquematiza con la siguiente:
TABLA DE VERDAD
p vp
V
F
F
V
Ejemplo 1.1.1 :
p : “todos los números impares son primos”
v p : “no todos los números impares son primos” ó “algunos números impares son no primos” ó “al menos un número impar no es primo”
Notemos que las a…rmaciones:
“Todoslos números impares no son primos”
“Ningún número impar es primo”
No corresponden a la proposición v p:

2

CAPÍTULO 1: Lógica y Teoría de Conjuntos
De…nición 1.1.4 Sean p y q dos proposiciones, se llama CONJUNCION
de las proposiciones p y q a la proposición “p y q”
.
Notación 1.1.2

p^q

La proposición p ^ q es verdadera sólo si p y q son ambas verdaderas y,
es falsa si al menosuna de ellas es falsa. Esto se esquematiza por medio de
la siguiente:
TABLA DE VERDAD:
p
V
V
F
F

q
V
F
V
F

p^q
V
F
F
F

Ejemplo 1.1.2 :
p : “el triángulo equilátero tiene los tres lados iguales”
q : “el triángulo equilátero tiene los tres ángulos iguales”
p ^ q : “el triángulo equilátero tiene los tres lados iguales y el triángulo equilátero tiene los tres ángulos iguales”En forma más sencilla la proposición p ^ q se enuncia:
“el triángulo equilatero tiene sus tres lados y sus tres ángulos iguales”
De…nición 1.1.5 Sean p y q dos proposiciones, se llama DISYUNCION
de las proposiciones p y q a la proposición “p ó q”
.
Notación 1.1.3

p_q

La proposición p _ q es verdadera si al menos una de las proposiciones
p ó q es verdadera y, es falsa si ambas son...