Mper_arch_1722_MATEMATICAS11SEGUNDOPERIODOfdo 1

MATEMATICAS GRADO ONCE

SEGUNDO PERIODO

TEMAS
•

Funciones y Relaciones

•

Parabola

.
..

Funciones y Relaciones

Producto cartesiano
Un par ordenada consta de dos elementos

y

, donde nos interesa el orden en que

a esta pareja. Por ejemplo,

aparecen los objetos. Llamemos

. En esencia nos gustaría que todo par ordenado
siguiente propiedad:

, pero
cumpliera la

si y sólo si [
y
] (dosparejas ordenadas son iguales si y
solo sí sus elementos son iguales y aparecen en el mismo orden).

Podríamos definir el par ordenado
como el objeto con la propiedad anterior. Pero
aún mejor, podríamos invertir los papeles (esto se hace frecuentemente en matemáticas):
dar una definición conjuntista de
y mostrar que, así definido, este conjunto
cumple la propiedad que queremos. Esto es lo que hacemosa continuación:

Definición (Par ordenado) Dados
ordenado

elementos (o conjuntos!), definimos el par

así:

es llamado ''el par

coma

'''', o simplemente ``

coma ''.

Por ejemplo,

es el conjunto

, mientras que

. Note que, por ejemplo,
(como queríamos) que

es el conjunto

, y por esto concluimos

.

Antes de mostrar la propiedad que mencionamos anteriormente, vale la pena observar
lossiguientes hechos conjuntistas (cuya demostración dejamos al lector), que
utilizaremos constantemente:

si y sólo si

1.

no es un singleton (un singleton es, como su nombre se

indica, un conjunto de un elemento. Por ejemplo,
2.

si y sólo si

es un singleton).

.

Teorema (Propiedad del par ordenado)

si y sólo si [

y

]
Demostración. [Prueba]
La dirección

es inmediata por la definición de parordenado. Probemos entonces la

otra dirección. Suponga que

, esto es,
. Hay 2 casos:

Caso 1:

: en este caso
.

Pero esto implica que
Entonces
.

, lo cual a su vez implica que

.

son el mismo elemento, y en particular podemos concluir

Caso 2:

: Entonces

implica que

y

tiene 2 elementos (¿por que?), lo cual
(siendo el mismo conjunto) tiene 2 elementos. Pero esto

implica (¿por qué?) que

.Como

, entonces

o

. Pero la segunda opción es imposible, luego

, es decir,

. Similarmente

o

,

pero la primera opción es imposible, así que

. Esto implica que

o
, pero la primera opción es imposible (pues
.
concluimos que
Dados dos conjuntos

y

y

), luego

podemos formar el conjunto todas las parejas ordenadas

, donde la primera coordenada ( ) viene de , y la segunda coordenada ( )
vienede . A este conjunto lo llamamos el producto cartesiano de y y lo
notamos así:

. Formalmente:

Definición (Producto cartesiano)

.

Notación:

.

Ejemplo (Ejemplos de producto cartesiano) A continuación unos ejemplos del
producto cartesiano:
•

Si

y

, entonces
.

•

tiene 2

elementos, tiene 3, y
tiene
(de ahí la palabra ``producto''
en la definición).
Si
, entonces
es llamado el planocartesiano. Las caricaturas y
demás objetos bidimensionales viven en
: un círculo no es otra cosa que
(dé un ejemplo). Nosotros, los seres tridimensionales,
cierto subconjunto de
vivimos en

•

(

para abreviar).

, sin importar qué conjunto sea

(¿por qué?).

Lema (Algunas propiedades del producto cartesiano)
1.

.

2. Para

conjuntos no vacíos,

3. Para

conjuntos no vacíos,

4.

si y sólo si

.
si ysólo si

.

5.

.

La prueba del anterior lema es dejada como ejercicio.
Así como hemos definido un par ordenado, podemos definir una
natural positivo)

-tupla ordenada (

como un objeto tal que:

si y sólo si para todo

,

.
La definición de una

-tupla es recursiva. Esto es, para definir una

la definición de una

tupla recurrimos a

-tupla:

Definición Para

natural positivo, definimosrecursivamente la

-tupla

así:
•

Para

,

•

Para

,

•

Para

,

.
.
.

Por ejemplo,
cuenta, toda

. Como el lector se dará
-tupla (

) es un par ordenado! En el ejemplo, la

es el par ordenado cuyas coordenadas son
-tupla

es el par ordenado cuyas coordenadas son

y

-tupla

. Y similarmente, la
y

.

Similarmente podemos generalizar el producto cartesiano y definir el producto de
conjuntos

así:...