mptransfinversa

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA
ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
CURSO: MODELOS DE SISTEMAS

TRANSFORMADA DE FOURIER

ING. FAUSTINO MONTES DE OCA
MARZO DE 2000

Transformada de Fourier

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INDICE
Transformada de Fourier _______________________________________________ 4
Definición ___________________________________________________4
Transformadas de funciones importantes:________________________8

Función impulso δ (t ) ____________________________________8
Función impulso desplazada “a” segundos ___________________8
Función exponencial e jw1t ________________________________9
Función coseno: _______________________________________10
Función seno: _________________________________________11
Función constante a: ___________________________________11
Funciónescalón unitario u(t): _____________________________12
Transformada de una función periódica _____________________14

Propiedades ________________________________________________15

Desplazamiento en el tiempo: ____________________________15
Conjugado de F(w): ____________________________________16
Propiedad de dualidad __________________________________17
Transformada de Fourier de unaderivada: __________________18
Transformada de Fourier de una integral: ___________________19
Compresión (a < 1) o expansión (a >1) en el tiempo ___________20
Convolución __________________________________________21
Teorema de Plancherel (Parseval): _____________________________26
Tabla de transformadas de Fourier _____________________________30
Bibliografía:________________________________________________31

Ing. Faustino Montes de Oca, faustino@ietec.org

Transformada de Fourier

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FIGURAS
FIGURA 1. FUNCIÓN PULSO DEL EJEMPLO 1. ........................................................ 5
FIGURA 2. CURVA DE INTEGRACIÓN .................................................................... 6
FIGURA 3. GRÁFICO DE TRANSFORMADA DE COSW1T ..........................................11
FIGURA 4. FUNCIÓN SENO EN FRECUENCIA. ....................................................... 11
FIGURA 5. FUNCIÓN F(T) .................................................................................. 12
FIGURA 6. EFECTO DE HACER A = 0 .................................................................. 13
FIGURA 7. GRÁFICO EN FRECUENCIA DE FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO .................. 14FIGURA 8. ESPECTRO DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA............................................. 14
FIGURA 9. LA SALIDA ES LA CONVOLUCIÓN DE LAS DOS FUNCIONES...................... 21
FIGURA 10. EN FOURIER LA CONVOLUCIÓN SE CONVIERTE EN MULTIPLICACIÓN..... 21
FIGURA 11. EFECTO DE MULTIPLICAR U(T-Z)U(Z-1)............................................. 28

Ing. Faustino Montes de Oca, faustino@ietec.orgTransformada de Fourier

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Transformada de Fourier
Es una forma más completa de Series de Fourier. Se emplea ampliamente
en el campo de las telecomunicaciones, DSP (procesamiento digital de
señales), control automático, ...

Definición
A partir de la definición de Cn se define:
TCn= F(jnwo) =

T /2

∫−T / 2 f (t )e

− jw 0 nt

Si se hace T→∞ entonces:

Limt →∞TCn = F(jw) =∞

∫−∞ f (t )e

− jw 0 nt

Transformada de Fourier
F(w) =

∞

∫−∞ f (t )e

− jwt

dt

(1)

Para obtener la expresión de Transformada inversa de Fourier se usa la
expresión de series de Fourier en forma compleja.
∞

f(t) =

1

∑TCn e jw0nt T
−∞

Si
T→∞, w0 =

2π
= ∆w ⇒ w0 = dw
T

Por su parte si
T →∞,

w0
dw
→
2π
2π

Sustituyendo

1
f(t) =
2π∞

∑ F ( jw )e jwt dw
−∞

Ing. Faustino Montes de Oca, faustino@ietec.org

Transformada de Fourier

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Si T →∞ se obtiene la expresión para la transformada inversa de Fourier.

1
f(t) =
2π

∞

∫ F ( jw )e

jwt

dw

(2)

−∞

Para efectos de notación
F f(t) = F(w)
F -1 F(w) = f(t)
donde F -1 corresponde a Transformada inversa de Fourier.
Ejemplo 1
A partir de la...