Mr. tiburon

Función de densidad
Una variable aleatoria continua tiene la característica de tomar cada uno de sus valores con probabilidad infinitesimal, a efectos prácticos, 0. Por tanto, no se pueden expresar en forma tabular. Sin embargo, aunque no se pueden considerar probabilidades de valores concretos, puede calcularse la probabilidad de que la variable tome valores en determinados intervalos (losintervalos en cuestión pueden ser abiertos o cerrados, sin que se modifique la probabilidad total).
 
P(a ≤ X ≤ b) = P(X = a) + P(a < X < b) + P(X = b) = P(a < X < b)
Tal como ocurría en el caso de las variables discretas, cuando existe una asignación regular de probabilidad se puede definir una función que nos permita calcular probabilidades para cualquier intervalo de valores, a esta funciónse le llama función de densidad, f(x)
La función de densidad de una variable aleatoria continua X es una función continua tal que su integral entre los extremos de un intervalo nos da el valor de la probabilidad de que X tome valores en ese intervalo.

La representación gráfica de la función de densidad en un sistema de ejes cartesianos es la de una curva continua, construida de forma talque la altura de la curva, sobre el eje de las X, en cada punto es el cociente entre el diferencial de la probabilidad en dicho punto y el diferencial de x. Esta construcción es una extensión por diferenciación del concepto de histograma.
Como consecuencia, la integral de f(x) sobre todo el campo de variación de X es igual a 1.
Es evidente que f(x) es siempre positiva pues si no lo fuera cabríala posibilidad de encontrar intervalos para los cuales la integral sería negativa y eso significaría probabilidad negativa, en abierta contradicción con la definición de probabilidad.
La función de densidad siempre se define para todos los valores en el intervalo
(-∞,∞) Esto no ofrece problemas si el campo de variación de X se extiende por todo el intervalo; si no fuera así, la función sedefine como igual a cero para todos los valores no incluidos en el campo de variación de X.
La función de densidad debe cumplir tres condiciones análogas a las de la función de probabilidad:
como consecuencia del primer axioma
como consecuencia del segundo axioma
por definición
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v.a de dos variables
 
Cuando tenemos dos variables aleatorias X e Y, si queremos estudiarlasconjuntamente debemos establecer una relación que ligue los valores de una con los de la otra. Esta relación podrá ser lógica o no, útil o no, en cualquier caso, dadas dos variables cualesquiera y una relación que las ligue se puede pensar en realizar un estudio estadístico conjunto, es decir, aun cuando en la práctica sólo se utilicen variables unidas por nexos lógicos, desde un punto de vistapuramente teórico, toda relación imaginable puede ser estudiada.
Así pues, en una situación como esta, para variables discretas, se puede establecer una función de probabilidad para las posibles parejas de valores de ambas variables; a esta función se le llama función de probabilidad conjunta, f(x,y).
Una función de probabilidad conjunta de las variables X e Y es una función de las dos variablestal que, al sustituir la x por un valor de la variable X y la y por un valor de la variable Y, el valor de la función nos da la probabilidad de que X e Y tomen simultáneamente esa pareja de valores anteriormente citados.

Las propiedades que debe cumplir la función de probabilidad conjunta son:
1.      Como consecuencia del primer axioma.
2.      Como consecuencia del segundoaxioma.
3.      Por definición.
 
Donde X x Y es el producto cartesiano de X por Y, o sea, el conjunto de todos las parejas de valores x,y .
 
Si X e Y son variables continuas, la función que se define es una función de densidad conjunta y es una función que al integrarla respecto de x e y sobre unos intervalos nos d la probabilidad de que la variable tome valores en esos intervalos....