mrligse

Descomposici´
on de los diez mil primeros n´
umeros en factores primos.

1

Descomposici´
on factorial de 10000 enteros en producto de primos.
A continuaci´on se te van a dar las descomposiciones factoriales en producto de primos de todos los
n´
umeros enteros de 1 a 10000. Si quieres practicar, elige uno de esos enteros e intenta descomponerlo
como producto de primos. Si puedeshacerlo del tiron y sin paradas ¡genial! si no, mira en la tabla
correspondiente y comprueba que ese n´
umero que se atasca y no sabes dividir no sea primo, pues
entonces ya habr´ıas acabado. Antes de comenzar, te recuerdo algo de teor´ıa y algunos ejemplos que
te vendr´an bien.
N´
umeros primos
Todo n´
umero entero siempre se puede dividir por el 1 y por s´ı mismo. Los n´
umeros primos sonaquellos n´
umeros enteros que no tienen m´as divisores adem´as del 1 y de ellos mismos, tal como le
pasa al 2, al 3, al 5 o al 23. Una forma de ir localizando n´
umeros primos es seguir la llamada criba de
Erat´ostenes1 . De todos modos, aunque nos esforcemos hay que decir que no podremos encontrarlos
todos, ya que los n´
umeros primos son infinitos, siendo menos numerosos a medida que sonm´as
grandes2 .
Unos primos muy curiosos son los llamados primos gemelos, o aquellos que est´an separados por
un u
´nico n´
umero (par), como le pasa al 5 y al 7, al 17 y al 29, al 2141 y 2143... Estas parejas de
primos tambi´en son infinitas.
Ejemplo 1. Descomponer en factores primos el n´
umero 90
Este tipo de ejercicios es muy f´
acil si sabemos dividir. El proceso es el siguiente;tomamos
el n´
umero a descomponer, el 90, y probamos a dividir, sin resto, por 2, el primero de los
primos distinto de 1. Trazamos un segmento vertical y a la izquierda ponemos el dividendo
y los cocientes, a la derecha los sucesivos divisores. la divisi´
on es exacta, y obtenemos de
cociente el 45. Probamos a dividir de nuevo por 2 el u
´ltimo cociente, y vemos que no da
exacto, pues nada, seprueba ahora por 3 (el siguiente primo tras el 3, y en lo que sigue nos
´
olvidamos del 2), y vemos que 45 se divide por 3 y da 15. Este
se puede dividir de nuevo por
3 y da 5, que ya no se puede dividir por tres. Tras el 2 y el 3 buscamos el siguiente primo
que puede dividir de forma entera al 5, y es precisamente el 5, obteniendo de cociente 1.
Fin del proceso. A continuaci´
on leemos lossucesivos divisores, parte de la derecha de arriba
2, 3, 3, 5, y decimos que 90 = 2 · 3 · 3 · 5 = 2 · 32 · 5

90
45
15
5
1

2
3
3
5

hacia abajo,

Ejemplo 2. Descomponer en factores primos los n´
umeros 120, 144, 250, 400 y 15015
120
60
30
15
5
1

2
2
2
3
5

120 = 23 ·3·5

144
72
36
18
9
3
1

2
2
2
2
3
3

144 = 24 ·32

250
125
25
5
1

2
55
5

250 = 2 · 53

400
200
100
50
25
5
1

2
2
2
2
5
5

400 = 24 ·52

15015
5005
1001
143
13
1

3
5
7
11
13

15015 = 3·5·7·11·13

Una interesante propiedad de las descomposiciones factoriales de n´
umeros enteros en n´
umeros
primos es que puede establecerse una biyecci´on, esto es, no s´olo si dos descomposiciones factoriales
son distintas, entonces los n´umeros enteros son distintos, sino que dos n´
umeros enteros distintos
tienen distintas descomposiciones factoriales; y por ejemplo s´e que las descomposiciones 23 · 3 y 2 · 33
son distintas sin haberlas calculado.
1 Que consiste en escribir todos los n´
umeros enteros desde 2 hasta uno cualquiera, por ejemplo 100, tomar el primero, el 2, y eliminar
todos los los m´
ultiplos suyos (4, 6,8, 10, etc.). Tomar los que quedan sin tachar, quedarnos con el primero, el 3, y eliminar los m´
ultiplos
suyos no tachados (9, 15, 21, 27, etc.). Tomar los que quedan sin tachar, quedarnos con el primero, el 5, y tachar todos los m´
ultiplos suyos
no tachados (25, 35, 55, 65, etc.). Y seguir este proceso hasta que los n´
umeros con los que nos estamos quedando lleguen al final de la lista...