MTE Rectas Paralelas Y Perpendiculares

Rectas paralelas y perpendiculares
Recuerda:
• Dos rectas l1 y l2 son paralelas si y solo si l1 ∩ l2=0 ( la intersección es vacía, no se cortan o no tienen puntos en común)
• Dos rectas l1 y l2 son perpendiculares si y solo si se cortan en un ángulo recto.
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad
Rectas paralelas
Dibuja en el plano coordenado dos rectas paralelas. Observa la gráfica yrecuerda que la pendiente es el cociente entre el cambio de las ordenadas y el cambio de las abscisas de dos puntos de la recta, ¿qué relación hay entre las pendientes de dos rectas paralelas?
A continuación presentamos la condición que te ayudará a decidir si dos rectas son paralelas.
Si l1 y l2 son dos rectas no verticales diferentes que tienen pendientes m1 y m2 respectivamente,
entonces l1 y l2son paralelas si y sólo si m1 = m2.
Sean l1 y l2 dos rectas que tienen pendientes m1 y m2 respectivamente, entonces sus ecuaciones
punto-pendiente son:
y = m1x + b1 y = m2x + b2
Las rectas se cortan en un punto P(x, y) si y solo si
m1x +b1= m2x +b2 o bien
m1 x- m2x = b2 - b1
( m1 - m2 )x = b2 - b1
Puede despejarse x de la ecuación anterior si y solo si m1 - m2 ≠ 0. Con esto vemos que las rectas seintersecan en el punto P si y solo si m1 - m2 ≠ 0, es decir si m1 ≠ m2
Por lo tanto son paralelas (no se cortan) si y solo si m1 = m2.
Observa que hemos supuesto l1 ≠ l2, de modo que las ordenadas al origen son diferentes.
Podemos decir entonces que:
Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente y distinta ordenada al origen.
Con lo antes dicho, te pedimos ejemplos de ecuacionesde dos rectas no verticales que sean
paralelas. ¿Cuáles serían las ecuaciones de dos rectas verticales, de modo que sean paralelas?
Si l1 y l2 tienen pendientes iguales y la misma ordenada al origen, ¿qué observas?
Ejemplo
Nos proponemos ahora encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, -5) y es paralela a
la recta 6x + 3y – 4 =0.
Expresamos la ecuación dada en su forma explícita,ya que de esta forma inmediatamente podemos identificar su pendiente.
Despejando y en función de x obtenemos
y = –2x + 3 - 4 de modo que su pendiente es m = –2
Como las rectas paralelas tienen la misma pendiente y la recta que buscamos debe ser paralela a ésta, su pendiente también debe ser –2.
Usando la forma punto-pendiente resulta y + 5= –2(x –3) que es equivalente a
y = –2x + 1 en su formaexplícita y también a
2x + y –1 =0 en su forma implícita.
Ahora grafiquemos las dos rectas, la dada y la que hallamos








Rectas perpendiculares
La condición de perpendicularidad quizás no es tan fácil de descubrir.
Te guiamos para deducir una la condición que te ayudará a decidir si dos rectas son perpendiculares.
Observa el gráfico. En él dibujamos dos rectas perpendiculares que se cortan en elorigen.
Las ecuaciones son y = m1x e y = m2x ¿porqué?
Si se cortan en cualquier otro punto (a, b) la demostración es similar.

Elegimos dos puntos A(x1,m1x1) y B(x2,,m2x2), distintos del origen de coordenadas, cada uno de ellos sobre una de las rectas. Las rectas son perpendiculares si y sólo si el ángulo AOB es recto.
Por el teorema de Pitágoras, el triángulo AOB es rectángulo si y sólo si[d(A,B)]2 = [d(O,B)]2 + [d(O,A)]2 que utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos es
( m2x2 - m1x1 )2 + (x2 - x1)2= (m2x2)2 + x2
2 + (m1x1)2 + x1
desarrollando los cuadrados y simplificando queda –2 m1 m2x1 x2 – 2 x1 x2 =0
Dividiendo por –2 x1 x2 (que sabemos que es distinto de cero, puesto tanto x1 como x2 son distintos de cero) se ve que
m1. m2 + 1=0.
Luego
Dos rectas son perpendicularessi y sólo si m1. m2 = –1.
RECTAS INTERSECANTES.

Las rectas intersecantes son las que tienen un punto en común.
Dos rectas intersecantes forman dos pares de angulos congruentes.
Dos rectas intersecantes que no sean perpendiculares forman un par de angulos obtusos.
Las secciones conicas se obtienen al intersecar un plano con un cono circular recto prolongado. Si el plano corta a cono en un solo...