Muñoz_Andy_Runge Kutta

Contents
1 Introducci´
on

2

2 Objetivo

2

3 Fundamento

2

´
4 METODOS
DE RUNGE-KUTTA
4.1 M´etodo de Runge-Kutta de segundo
orden . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 M´etodo de Runge-Kutta de cuarto
orden . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

5 Bibliograf´ıa

5

3
4

1

Ingenier´ıa en Electr´onica y Telecomunicaciones
Departamento de Ciecias Exactas
M´etodos Num´ericos
Andy Mun˜ozagmunoz5@espe.edu.ec
August 18, 2015
´
METODO
DE RUNGE KUTTA

esta ”cerca” a la curva desconocida o buscada.
Los m´etodos Runge-Kutta extienden esta idea
geom´etrica al utilizar varias derivadas o tangentes
1 Introducci´
on
intermedias, en lugar de solo una, para aproximar
la funci´on desconocida. Los m´etodos Runge-Kutta
Los Runge-Kutta no es s´
olo un m´etodo sino una m´as simples se obtienen usando dosde estas
importante familia de metodos iterativos tanto derivadas intermedias.
impl´ıcitos como expl´ıcitos para aproximar las Los m´etodos de Runge-Kutta mejoran la aproxisoluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias macion del metodo de Euler para resolver de modo
(E.D.O’s), estas t´ecnicas fueron desarolladas aproximado el P.V.I y = f (x, t), y(t0 ) = y0 , sin
alrededor de 1900 por losmatem´
aticos alemanes necesidad de calcular derivadas de orden superior.
Carl David Tolm´e Runge y Martin Wilhelm Kutta. Recordemos que, de acuerdo con la teoria, la
expresion general de los metodos explicitos de las
etapas de Runge Kutta es:

2

Objetivo

yn+1 = yn + h

El objetivo de los m´etodos num´ericos de rungekutta, es el an´
alisis y soluci´
on de los problemas de
valor inicial de ecuacionesdiferenciales ordianrias
(EDO), estos son una extensi´
on del m´etodo de
euler para resolver las (EDO’S), pero con un orden
de exactitud m´
as alto que este.
La convergencia lenta del m´etodo de Euler y lo
restringido de su regi´
on de estabilidad absoluta
nos lleva a considerar m´etodos de orden de convergencia mayor. El m´etodo de Euler se mueve
a lo largo de la tangente de una cierta curvaque

S
i=0 bi ki

ki = f (tn + ci h, yn + h

s
j=1

aij kj

Donde a ij = 0 para j >= i y

3

S
j=1

aij = Ci

Fundamento

Al resolver un PVI o un PF, el objetivo es hallar
una funcion y(t) que verifique en [a,b] los requisitos
2

Si queremos calcular yn+1 con un valor de yn , integramos la ecuaci´on (1) en el intervalo tn ≥ t > tn+1
para obtener

del problema. Conscientes de la imposibilidad
deobtener una f´
ormula que exprese y(t), nos
contentaremos con obtener los valores de y(t) en
[a,b]. Esto puede parecer, a primera vista, frustrante, pero para la mayor parte de las necesidades
reales es completamente suficiente; pensemos que
realmente, incluso para una funci´
on expresada
mediante una f´
ormula, un ordenador solo puede
dar sus valores en un n´
umero finito de puntos,
ya que maneja unn´
umero limitado de cifras. El
valor de la soluci´
on en un punto c distinto de los
considerados se obtiene mediante interpolaci´on, o
resolviendo de nuevo el problema en el intervalo
[a,c].
As´ı, una t´ecnica de soluci´
on consiste en dividir de
soluci´
on consiste en dividir el intevalo [a,b] mediante una malla de puntos a = t0 ≤ tl < tn = b,
llamados puntos soporte, y obtener los valores
yi =y(ti ), i = 1, 2, ....., n, de la soluci´
on en los
puntos de la malla.
Una manera frecuente y sencilla (no la mejor en
todos los casos) de tomar los ti , consiste en dividir
el intervalo [a,b] en n partes iguales, siendo n un
natural. As´ı, los puntos son ti = a+i.h, i = 0, .....n.
se lo denomina paso de inAl valor h = (b−a)
n
tegraci´
on.
Utilizaremos en los sucesivo paso
constante en todos loscasos.

yn+1 = yn +

tn+1
tn

f (y, t)dt

Los m´etodos de Runge-Kutta deducen aplicando un
m´etodo de integraci´on num´erica al miembro derecho de la ecuaci´on anterior.

4.1

M´
etodo de Runge-Kutta de segundo orden

Aqu´ı examinaremos la aplicaci´on de la regla
trapezoidal al miembro derecho de la ecuaci´on (2)
tn+1
tn

f (x, t)dt

h
2 [f (yn , tn )

+ f (yn+1 , tn+1 )]

donde h = tn+1 − tn ....