Muestreo poisson

P(k  S )

P(uk d S k )

F (S k ) S k ,

Donde F(x) es la función de distribución uniforme en [0,1], con F(x)=x en el [0,1]

El tamaño de muestra n, es una variable aleatoria que toma susvalores en ­1 si k  s entonces, ^0,1, 2,..., N ` , si I k ® ¯0 si k  s n
kU

¦I

k

,así

ª º E > n@ E « ¦ I k » ¬ kU ¼

k U

¦ E[ I

k

]

kU

¦S

k

var(n)

var( ¦ I k) = ¦ var( I k )  2¦¦ Cov( I j , I k )
kU kU k j

Pero como las I k ´s son independientes porque las muestras son independientes de un individuo a otro y debido a que I k ~ Bernoulli S k var(n) var( ¦ I k ) = ¦ var( I k )  2*(0)
kU kU kU

¦S

k

(1  S k )

Para que la muestra sea de tamaño 1 debe ocurrir lo siguiente, por ejemplo que el elemento k sea seleccionado y elresto no se seleccione, las muestras son de tamaño 1, la probabilidad de obtener una que contiene solo al elemento k es: P  n 1 y k  s  S k – (1 S j )
jU kz j

Entonces a recorrer todas laposible muestras de tamaño 1, P (n 1)

kU

¦ S – (1 S
k jU kz j

j

)

tˆ

kU

¦S

yk
k

ª y º I k , E[tˆ]=E « ¦ k I k » ¬ kU S k ¼

kU

y y ¦ S E >I @ ¦ S
k k k kU

k kSk

kU

¦y

k

Como la muestras son independientes la varianza de la suma es la suma de las varianzas, entonces la varianza del estimador esta dada por:

var(tˆ)

§y · var( ¦ I k ) ¨ k ¸k U S k © Sk ¹ yk

2

kU

¦ var( I k )

2 yk

S

2 k kU

¦S

k

(1 S k )

kU

¦

1 Sk

Sk

2 yk

Y el estimador insesgado estaría dado por :

ˆ ˆ var(t )

kU¦

1 S k

S

2 k

2 yk I k

S kl

S k S l nuevamente por la independencia de las muestras.

Solución.

E ªV 2 º ¬ˆ ¼

ª 2 I I º 1 E« ¦ k !¦U  y j  yk  Sj k » « N ( N  1) jUj jk » ¬ ¼ 2 E ª I j Ik º 1 ¦ k !¦U  y j  yk  ¬S ¼ N ( N  1) jU j jk
2 1 ¦ k !¦U  y j  yk  N ( N  1) jU j 2 1 1 ¦ k¦  y j  yk  N ( N  1) 2 jU U

2 1 1 ¦ k¦  y j  P  yk  P...