Muestreo

Teorema del Muestreo
Sistemas Lineales. Curso 2004/05

Una operaci´n que es b´sica para dise˜ar todos los sistemas de modulaci´n de pulsos
o
a
n
o
es el proceso de muestreo, donde una se˜al anal´gica se convierte en una secuencia de
n
o
n´meros que normalmente est´n uniformemente espaciados en el tiempo. Para que dicho
u
a
proceso tenga utilidad pr´ctica es necesario elegir la tasade muestreo adecuadamente de
a
modo que esa secuencia de n´meros identifique de forma unica a la se˜al anal´gica original.
u
´
n
o
Esta es la esencia del teorema de muestreo.
Consideremos una se˜al arbitraria g (t) de energ´ finita como la que se muestra en
n
ıa
la figura 1. Supongamos que muestreamos la se˜al g (t) de forma instant´nea a una tasa
n
a
uniforme cada Ts segundos. Comoresultado de este proceso se obtiene una secuencia de
n´meros espaciados Ts y que podemos denotar mediante {g (nTs )}, donde n puede tomar
u
cualquier valor entero, Ts es el periodo de muestreo y fs = 1/Ts es la frecuencia de
muestreo. Esta forma ideal de muestreo recibe el nombre de muestreo instant´neo.
a
Sea gδ (t) la se˜al obtenida multiplicando la secuencia de n´meros {g (nTs )} por un
nu
tren de deltas espaciados Ts , entonces se puede expresar seg´n la ecuaci´n (1).
u
o
∞

g (nTs )δ (t − nTs )

gδ (t) =

(1)

n=−∞

A gδ (t) se la denomina se˜ al muestreada ideal. En la figura 2 se puede ver el
n
resultado de este tipo de muestreo aplicado a la se˜al de la figura 1. De forma equivalente
n
se puede expresar gδ (t) como el producto de la se˜al original g (t) porla funci´n de
n
o
muestreo ideal δTs (t) con periodo Ts seg´n la ecuaci´n (2).
u
o
∞

δ (t − nTs )

gδ (t) = g (t)δTs (t) = g (t)

(2)

n=−∞

Se puede determinar la transformada de Fourier de la se˜al muestreada gδ (t) convolun
cionando la transformada de Fourier de g (t) con la transformada de Fourier de la funci´n
o
de muestreo ideal δTs (t) que viene dada por la ecuaci´n (3).Entonces si G(f ) es la transo
formada de Fourier de g (t), la transformada de Fourier Gδ (f ) de la se˜al muestreada
n
gδ (t) viene dada por la ecuaci´n (4). Si intercambiamos el orden del sumatorio y la
o
convoluci´n se obtiene la ecuaci´n (5). La convoluci´n de una se˜al cualquiera con una
o
o
o
n
delta desplazada, desplaza la se˜al seg´n la ecuaci´n (6), por lo que se tiene finalmentela
n
u
o
ecuaci´n (7).
o
∞

δ (t − nTs ) ⇐⇒

δTs (t) =
n=−∞

Gδ (f ) =

1
Ts

∞

δ f−
n=−∞

∞

n
Ts

(3)

δ f−

n
Ts

(4)

G(f ) ∗ δ f −

Gδ (f ) = G(f ) ∗

1
Ts

1
Ts

n
Ts

(5)

n=−∞

∞
n=−∞

1

g(t)

t

Figura 1: Se˜al arbitraria de energ´ finita.
n
ıa

g (t)
δ

Ts
t

Figura 2: La se˜al de la figura 1 muestreadaidealmente.
n

2

G(f)

G(0)

f
−W

W

Figura 3: Espectro de la se˜al a muestrear limitado a la banda W .
n

G(f ) ∗ δ f −

Gδ (f ) =

n
Ts

=G f−

∞

1
Ts

G f−
n=−∞

n
Ts

n
Ts

(6)

(7)

Gδ (f ) representa un espectro continuo peri´dico con periodo fs = 1/Ts . Se puede
o
decir entonces que el proceso de muestreo uniforme de una se˜al en el dominio del tiempon
da lugar a un espectro peri´dico en el dominio de la frecuencia con periodo igual a la
o
frecuencia de muestreo.
A partir de la ecuaci´n (1) tomando transformada de Fourier en ambos lados se obtiene
o
la ecuaci´n (8). Esta ecuaci´n se puede ver como una representaci´n en serie compleja de
o
o
o
Fourier de la se˜al peri´dica en la frecuencia Gδ (f ), siendo los coeficientes complejosde
n
o
la expansi´n la secuencia de muestras {g (nTs )}, por lo que se tiene la ecuaci´n (9), que
o
o
es la ecuaci´n an´lisis de la expansi´n en serie compleja de Fourier de una se˜al. Hay que
o
a
o
n
tener en cuenta que en las ecuaciones (8) y (9) se han intercambiado el papel habitual del
tiempo y de la frecuencia.
∞

g (nTs ) exp(−j 2πnf Ts )

Gδ (f ) =

(8)

n=−∞
fs

g...