Muestreo

Métodos indirectos de estimación: razón, regresión y diferencia
Contenido
1. Introducción, definición de estimadores indirectos 2. Estimador de razón, propiedades y varianzas. Límites de confianza. 3. Tamaño de la muestra en los estimadores de razón 4. Eficiencia de los estimadores de razón 5. Estimadores de razón en el muestreo estratificado: razón separado y razón combinado. 6. Estimadores deregresión con “b” pre-asignada y con “b” estimada. 7. Comparación entre los estimadores de razón, de regresión y simple. 8. Estimadores de regresión en el muestreo estratificado: separado y combinado. 9. Estimador de diferencia.
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Métodos indirectos de estimación
Es frecuente en el muestreo usar información adicional para mejorar la precisión de las estimaciones, esto se conocecomo métodos indirectos y los más comunes son los de razón y los de regresión. Los métodos indirectos requieren el poder observar una variable auxiliar X apareada con la variable en estudio Y (yi,xi) y además conocer el total X. La correlación existente entre X e Y es lo que permite el incremento de la precisión al estimar los parámetro de Y. Los estimadores indirectos se usan para estimar eltotal, la media y la razón propiamente.

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Métodos indirectos de estimación
∧

Para el total Y la forma general de los estimadores indirectos es:

Y I = Y +α(X − X ) Donde α es el coeficiente de corrección para mejorar el estimador
∧

∧

∧

directo Y Si Si Si

α =0
α=R=
∧ ∧

YI ≡Y
Y
∧

∧

∧

estimador directo estimador de razón
∧

X

YI = RX

∧∧

α =1 Si α = b

YI =Y+ X − X
Y I = Y + b( X − X )
∧ ∧

∧

∧

estimador de diferencia

estimador de regresión b coeficiente de regresión lineal Y/X
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Estimador de razón en el Muestreo Aleatorio Simple.
y YR = RX = X En el mas el estimador de razón del total es: x Xi debe ser una variable apareada con Yi y correlacionada entre si, Xi puede ser el valor de Yi en unaocasión anterior (Xt=Yt-s) Si la razón yi/xi es la misma en todas las unidades de muestreo,
∧ ∧

y x es estable de muestra en muestra y Y R será mas precisa. El
método se justifica al suponer que Yi varía proporcional a Xi ( yi = kxi → y = k x)
∧

∧

El estimador de razón Y R (o y R ) es: 1. Consistente en el sentido de cochran 2. Sesgado, pero el sesgo es despreciable en muestras grandes3. En muestras grandes se puede utilizar la distribución normal (grandes si n>30 y CV( x ) < 10% y CV( y) < 10% ), en muestras medianas la distribución es asimétrica positiva
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Estimadores de razón del total, la media, y la razón.
Estimadores
YR = RX
∧ ∧

Sus varianzas (aproximadas)
2 2 ⎛ ∧ ⎞ N (1 − f ) ⎡ ∑ ( yi − Rxi ) ⎤ V ⎜Y R ⎟ = ⎥ ⎢ n N −1 ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

yR = R x
∧

∧V yR

( )

2 1 − f ⎡ ∑ ( yi − Rxi ) ⎤ = ⎢ ⎥ n ⎢ N −1 ⎥ ⎣ ⎦

2 y ⎛ ∧ ⎞ 1 − f ⎡ ∑ ( yi − Rxi ) ⎤ V ⎜ R⎟ = ⎥ R= 2 ⎢ N −1 ⎝ ⎠ nX ⎢ ⎥ ⎦ ⎣ x Los estimadores son “aproximadamente” insesgados y las

∧

pruebas de las varianzas se vieron en el tema 2 para R la de los otros dos sigue inmediato.

Muestreo I

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Formas de expresión de la varianza
∑ (y
N i

− Rxi ) = ∑
2

Como YSY2

(y − Rx − Y − R X ) = ∑ ((y − Y )− R(x − X )) = ∑ (y − Y ) + R ∑ (x − X ) − 2 R ∑ (y − Y )(x − X )
N 2 N 2 i i i i N 2 2 N 2 N i i i i

∑ (y =
N

i

−Y

)

2

N −1

;

S

2 X

∑ (x − X ) =
N i

2

N −1

y

∑ (y ρ=
N

i

− Y xi − X

)(

)

( N − 1) S X SY

=

S XY S X SY

2 ⎛ ∧ ⎞ N (1 − f ) 2 2 V ⎜Y R ⎟ = SY + R 2 S X − 2 RρS X SY Así ⎝ ⎠ n

()
2

Y = (1 − f ) n

2

2 2 ⎛ SY S X 2 S XY ⎜ 2+ 2− 2 ⎜ X YX ⎝Y

⎞ Y ⎟ = (1 − f ) (CYY + CYY − 2C XY ) ⎟ n ⎠

donde CYY y CXX son los cuadrados de los coeficientes de variación y CXY es la covarianza relativa.
∧

El cuadrado del coeficiente de variación de Y R se denomina ∧ 2 ∧ V (Y R ) (1 − f ) ⎛ ⎞ (CYY + CYY − 2C XY ) = ⎜ CV (Y R ) ⎟ = varianza relativa ⎝ Y2 n ⎠
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