Multicriterios

Linear programming models for estimating weights in the analytic hierarchy process |
Bala Chandran , Bruce Golden, Edward Wasil |
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Resumen General

En este artículo se define uno de los tantos enfoques para determinar los pesos para una matriz de comparación de pares, el cual es el enfoque basado en programación lineal. Cabe mencionar que el marco en donde se generanaquellos pesos en el proceso del análisis analítico jerárquico. Se realiza dentro del paper una ampliación del programa lineal para añadir aplicaciones como en los intervalos de los valores que construyen la matriz de comparación de pares.
El trabajo de la obtención de los pesos a través de una programación lineal se compara principalmente con AHP, método relevante en la toma de decisionesmulticriterio, en donde influye en la clasificación, selección, evaluación de aquellas.
Desarrollo

* Teoría
Para comenzar con el diseño de AHP se debe representar el problema como una jerarquía de criterios, subcriterios y alternativas. Basándose en lo anterior el decididor evalúa la importancia de cada criterio a través de la generación de entradas de una matriz de comparación de pares, y talcual dice su nombre, hace que los elementos que ingresan a ella son comparados entre sí.
En el paper se utiliza el método del vector propio (EM) para crear el vector de prioridad que indica el nivel de jerarquía de cada criterio para así llegar a la obtención del peso final de cada uno de ellos.
La metodología de EM y LLS, son los métodos tradicionales de la obtención de pesos. Sin embargo,EM es el de mayor relevancia y que se representa a través de su participación en el software de AHP paquete Expert Choice, en donde EM resuelve un problema de valor propio relacionado con cualquier matriz n x n por pares.
Las matrices son más bien conocidas como matrices cuadradas de comparación de pares, en donde aij da la importancia del elemento i con respecto al elemento j. Aquella matrizdebe tener las siguientes propiedades:
* Cada entrada en la matriz, que llamaremos A, deben ser positivas y recíprocas.
* Si la matriz A es constante quiere decir que no contiene ningún error.
Llegando a la notación matricial

Donde el vector w es el principal vector propio (metodología EM) de la matriz A que corresponde a la n valor propio.
Si el vector de ponderaciones no esconocido, se puede estimar a través de las matrices de comparación en pares a través del valor propio de A y w, vector estimado de los pesos.

* Metodología
Saaty, creador de AHP, y utilizando EM se tiene,
Para desarrollar una medida de la consistencia de la matriz A.
Donde el índice de consistencia está dado por

Y el RI, es el índice aleatorio que es el promedio de CI de un gran númerode matrices generadas aleatoriamente.
El índice de coherencia está dado por

Además de EM se puede utilizar LLS para determinar el vector de prioridades a través de

Ya que el resultado de wi es la media geométrica de la fila i.
En el paper la metodología a proponer es del enfoque LP (programación lineal), en donde se realiza a través de dos etapas para generar el vector de prioridad.En la primera etapa se formula el primer modelo de programación lineal con el fin de proporcionar una consistencia obligada en la matriz de comparación de pares que se lleve a evaluación.
Se realiza a partir de la definición de un error dependiendo de una estimación de las entradas aij, en base a logaritmo natural, el cual debe ser igual a 0.
A partir de lo anterior se define el modelo deprogramación lineal, en donde las variables de decisión están dadas por
* wi (peso del elemento i).
* εij (factor de error en la estimación de las actividades conjuntas aij).
Se utilizan transformadas, es decir la normalización de las variables, quedando la función objetivo,

Sujeto a restricciones que dan limitaciones.
La función objetivo minimiza la suma de los errores positivos de...