Multiplicacion de matrices

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
En matemática, la multiplicación o producto de matrices es la operación de multiplicación que se efectúa entre dos matrices, o bien entre una matriz y un escalar.
Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir, viene dada por un algoritmo capaz de resolverla. El algoritmo que resuelve la multiplicación matricial es diferente del queresuelve la multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad de conmutatividad.
Multiplicación de una matriz por un escalar
Dada una matriz A de m filas y n columnas, lo que podemos denotar como:

la multiplicación de A por un escalar k, que se denota k·A, k×A o simplemente kA, está definida como:

es decir, corresponde ala matriz conformada por cada elemento de la matriz multiplicado por dicho escalar.

Gráficamente, si | |    y     | |    entonces     | |
La multiplicación por escalar es análoga a la suma o resta de matrices, y cumple con las mismas características de la multiplicación aritmética. En efecto, podemos llegar al mismo resultado sumando k veces la misma matriz A entre sí.
Propiedades
SeanA, B matrices y c, d escalares, la multiplicación de matrices por escalares cumple con las siguientes propiedades:
Propiedad | Descripción |
Clausura | cA es también una matriz |
Elemento neutro | Existe el elemento neutro uno, de manera que 1·A = A |
Propiedad asociativa | (cd)A = c(dA) |
Propiedad distributiva
- De escalar
- De matriz |
c(A+B) = cA+cB
(c+d)A = cA+dA |Multiplicación de una matriz por una matriz

Los resultados en las posiciones marcadas dependen de las filas y columnas de sus respectivos colores.
Dadas dos matrices A y B, tales que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B; es decir:
y
la multiplicación de A por B, que se denota A·B, A×B o simplemente AB, está definida como:

donde cada elemento ci,j estádefinido por:

Gráficamente, si | |    y     | |

      entonces  | |
Propiedades
Sean A, B y C matrices para las cuales la multiplicación entre ellas está bien definida, es decir, tales que sus elementos pertenecen a un cuerpo donde la multiplicación está definida, y de manera que el número de filas y de columnas permite realizar la multiplicación; entonces se cumplen las siguientespropiedades:
Propiedad | Descripción |
Clausura | AB es también una matriz |
Elemento neutro | Si A es una matriz cuadrada de tamaño m, entonces la matriz identidad Im×m es elemento neutro, de manera que I·A = A |
Propiedad asociativa | (AB)C = A(BC) |
Propiedad distributiva
- Por la derecha
- Por la izquierda |
(A + B)C = AC + BC
C(A + B) = CA + CB |
El producto de dos matricesgeneralmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas.
Finalmente, note que tanto la multiplicación de una matriz por un escalar, como la multiplicación de dos escalares, puede representarse mediante unamultiplicación de dos matrices.
Aplicaciones
La multiplicación de matrices es muy útil para la resolución de sistemas de ecuaciones de muchas variables, dado que son muy cómodas para ser implementadas mediante un computador. El cálculo numérico se basa en gran parte de estas operaciones, al igual que poderosas aplicaciones tales como MATLAB. También actualmente se utiliza mucho en el cálculo demicroarrays, en el área de bioinformática.
[editar] Sistemas de ecuaciones
Consideremos el caso más sencillo, el de las matrices cuadradas de orden 2, es decir cuando n = m = 2. Las aplicaciones lineales del plano real que, al punto M(x1,x2) hacen corresponder el punto N(y1,y2) se expresan como un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Las matrices permiten escribirlos más rápidamente....