Multiplicadores de lagrange

LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Para el presente ejercicio vamos a trabajar con dos variables:
L a Empresa Auto Max a efectuado una encuesta a veinte personas, en la ciudad de Quito, para deesta forma determinar sus preferencias a las siguientes clases de automóviles:

1) Automoviles Chevrolet
2)Automoviles Mazda

AUTOS | PERSONAS | PORCENTAJE DE PREFERENCIA |
CHEVROLET(X) |16 | 80% |
MAZDA(Y) | 4 | 20% |

Recordando el planteamiento del criterio de la función de utilidad, empleado la hipérbola equilátera de Fermat tenemos:
U=X.Y
Este razonamiento seria validosi las preferencias fueran las mismas para las dos clases de automóviles, pero como tenemos diferentes porcentajes, la ecuación cambia.
VARIABLES | PREFERENCIA | EXPONENTE DE VARIABLE |
X | 0.8% |1.6 |
Y | 0.2% | 0.4 |
TOTALES | 1.0% | 2 |
NUMERO DE VARIABLES | 2 | |

Consecuentemente al plantear la ecuación podemos ajustar las preferencias de los clientes sobre las clases deautomóviles.
U=X1.6Y0.4
Los precios de los automóviles Chevrolet y Mazda son $ 20.000 y $ 40.000 respectivamente.

Automax, estima generar por lo menos un ingreso por las ventas de dichos automóviles de1´000.000 $, por lo que su ecuación presupuestaria seria de la siguiente manera.
1’000.000=20.000X+40.000Y

Al incorporarse la función utilidad y la presupuestaria tenemos:
U=X1.6Y0.4
Sujeto apresupuesto:
1’000.000=20.000X+40.000Y
A continuación vamos aplicar el criterio de los multiplicadores de Lagrange, derivando parcialmente, para cada una de las variables X, Y,

Derivandoparcialmente, respecto a X (fx), tenemos:
Q=x1,6 y0,4 + (1´000.000- 20.000(x)- 40.000 (y)=0)
dQdX = 1,6 x1,6 y0,4 – 20.000
Derivando parcialmente, respecto a Y(fy), tenemos:
Q=x1,6 y0,4 + (1´000.000-20.000(x)- 40.000 (y)=0)
dQdy = 0,4x1,6 y-0,6 - 40.000
Derivando parcialmente, respecto a (f), tenemos:
Q=x1,6 y0,4 + (1´000.000- 20.000(x)- 40.000 (y)=0)

Agrupando las ecuaciones de derivadas...