Multiplicadores De Lagrange
Páginas: 2 (372 palabras)
Publicado: 1 de marzo de 2013
Multiplicadores de Lagrange
En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar losmáximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al númerode restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El métododice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinaciónlineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.
La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de variasvariables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función seaniguales a cero.
El método de los multiplicadores de Lagrange
Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,...,s, y seobserva (si las restricciones son satisfechas) que:
Se procede a buscar un extremo para h
lo que es equivalente a
Los multiplicadores desconocidos λk se determinan a partir de las ecuacionescon las restricciones y conjuntamente se obtiene un extremo para h que al mismo tiempo satisface las restricciones (i.e. gk=0), lo que implica que f ha sido optimizada
El método de multiplicadores deLagrange es generalizado por las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.
Ejemplo
Supongamos que queremos encontrar la distribución probabilística discreta con máxima entropía. Entonces
Podemos usar...
En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar losmáximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al númerode restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El métododice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinaciónlineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.
La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de variasvariables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función seaniguales a cero.
El método de los multiplicadores de Lagrange
Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,...,s, y seobserva (si las restricciones son satisfechas) que:
Se procede a buscar un extremo para h
lo que es equivalente a
Los multiplicadores desconocidos λk se determinan a partir de las ecuacionescon las restricciones y conjuntamente se obtiene un extremo para h que al mismo tiempo satisface las restricciones (i.e. gk=0), lo que implica que f ha sido optimizada
El método de multiplicadores deLagrange es generalizado por las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.
Ejemplo
Supongamos que queremos encontrar la distribución probabilística discreta con máxima entropía. Entonces
Podemos usar...
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