multivariable

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.Departamento de Matematicas y Estad´
ıstica
..................................................................................

Gu´ Calculo Multivariable
ıa ´
1. Relacione la ecuaci´n con su gr´fica. D´ razones para su elecci´n.
o
a
e
o

i

ii

iii

iv

v

vi

vii

a)
b)
c)
d)

x2 + 4y 2 + 9z 2 = 1
x2 − y 2 + z 2 = 1
y = 2x2 + z 2
x2 + 2z 2 =1

Calculo Multivariable; Mat-203

e) −x2 + y 2 − z 2 = 1
f ) y 2 = x2 + 2z 2
g) y = x2 − z 2

´
Pag. 1

2. Clasifique la siguiente superficie llevando a su forma can´nica y gr´fique indicando coordenada de v´rtices
o
a
e
y/o centro
x2 + 9y 2 + 9z 2 − 6x − 36y + 36 = 0
3. Determine una funci´n r(t) : I ⊂ R → R que parametrice el arco de la curva de intersecci´n de las
o
o
√
√superficies z = x2 + y 2 − 1 y x2 + y 2 = 3 que va del punto ( 3, 0, 2) al punto (0, 3, 2)
4. La par´bola z = 4y 2 , x = 0 gira alrededor del eje z. Encuentre una parametriazaci´n de la superficie
a
o
resultante.
5. Sea C la intersecci´n del cilindro x2 + y 2 = 1, con el plano x + y + z = 1
o
a) Encuentre una parametrizaci´n de esta curva
o
b) Encuentre el plano osculador de C.
−
6.Determinar la funci´n f (θ) para la curva C : →(θ) = f (θ)(cos(θ), sin(θ), 1) de modo que la tangente en
o
r
todo punto de ella forme un ´ngulo constante con el plano (X, 0, Y )
a
7. Sea la curva C : r = r(t), se definen los siguientes versores en un punto de la curva r(t0 )
t=

r (t)
||r (t)||

n=

(r (t) × r (t)) × r (t)
||(r (t) × r (t)) × r (t)||

b=

(r (t) × r (t))
||(r (t) × r(t))||

Que corresponden al versos tangente, normal e binormal, respectivamente, encuentre las derivadas longitudinales de cada versos.
8. Considere la curva de ecuaci´n
o
r(t) = (8t, 6 cos t, 6 sen t)
a) Reparametrice la curva respecto a la longitud de arco medida desde el punto t = 0 en la direcci´n de
o
crecimiento.
b) Demuestre que la curvatura y torsi´n no dependen de t
o
−
9.Considere la curva C : →(t) = (3 sen(t), 4t, 3 cos(t)) ∈ R3 , con t ∈ [0, 2π].
r
a) Reparametrice la curva respecto a la longitud de arco medida desde el punto t = 0 en la direcci´n en
o
que se incrementa t.
b) Determine su curvatura y su torsi´n en el punto (3, 2π, 0)
o
−
−
10. Demuestre que si → = →(s), entonces [r r r ] = κ2 τ
r
r
√
11. Probar que la curva C : r(t) = (et , −e−t , t 2)tiene en cada punto su curvatura y su torsi´n iguales en
o
valor absoluto.
→
−
−
12. Sea d = τ t + κb el vector de Darboux para la curva C : →(t) si la curvatura y la torsi´n son constantes,
r
o
→
−
probar que d es constante
13. Considere la superficie z = 1 − (x2 + y 2 )
a) Calcule la ecuaci´n del plano tangente a la superficie en el origen
o
b) Considere la curva r(t) = (t, t, 1 −2t2 ). Muestre que la curva pertenece a la superficie y calcule el
plano osculador a la curva en el punto (0, 0, 1).

Calculo Multivariable; Mat-203

´
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14. Identifique a qu´ funci´n pertence los siguientes gr´ficos y mapas de curvas de nivel.
e
o
a

1
. Grafique y encuentre las ecuaciones de las curvas de nivel
x2 + 4y 2
de la superficie y determine para qu´e valor de z lacurva de nivel correspondiente pasa por el punto (0, 1).

15. Sea dada la superficie z = f (x, y) =

16. Dada
f (x, y) =





x
x2

− y2
0

si

(x, y) = (0, 0)

si

(x, y) = (0, 0)

Hallar el dominio de f y graficarlo. Determine las curvas de nivel de f y dibuje las curvas correspondientes
a k = −3, −2, −1, 1, 2, 3

Calculo Multivariable; Mat-203

´
Pag. 3

17.Encuentre el l´
ımite, si existe, o demuestre que no existe
a)
x3 + y 3
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
l´
ım

b)
x2 y 2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
l´
ım

c)
x4 y 4
(x,y)→(0,0) (x4 + y 2 )3
l´
ım

d)
xy + y 2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
l´
ım

e)
x3 y
+ y2

l´
ım

(x,y)→(0,0) x2

f)
x2 (y − 2)3
+ (y − 2)6

l´
ım

(x,y)→(0,2) x4

g)
xy 3
+ y6

l´
ım

(x,y)→(0,0) x2

h)
l´...