Musica Fractal
Páginas: 65 (16203 palabras)
Publicado: 28 de septiembre de 2012
´ MUSICA FRACTAL: EL SONIDO DEL CAOS
Juan Antonio P´rez Ortiz e
japerez@dlsi.ua.es
Departamento de Lenguajes y Sistemas Inform´ticos a
Universidad de Alicante
Mayo 2000
Esta obra est´ bajo una licencia Reconocimiento-No comercial 2.5 de a Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.5/ o env´ una carta a ıe Creative Commons,559 Nathan Abbott Way, Stanford, California 94305, USA.
A pesar de que la historia de los fractales comienza en los ultimos d´ ´ ıas del siglo XIX, gran parte del XX permanece ajena a ellos. En las ultimas ´ d´cadas del siglo, y casi paralelamente a la evoluci´n de la investigaci´n en e o o sistemas ca´ticos, los fractales cobran un auge creciente, hasta convertirse o en un concepto cada vezm´s extendido en todas las ciencias. a Este trabajo es una introducci´n a la teor´ de la geometr´ fractal y a o ıa ıa una de sus aplicaciones m´s recientes: la m´sica fractal. La geometr´ fractal a u ıa no solo puede estimular los sentidos a trav´s de la generaci´n de impresioe o nantes paisajes virtuales, sino tambi´n por medio de melod´ desafiantes. e ıas En la secci´n 1 mostraremos algunos de losfractales m´s famosos. A o a continuaci´n, en la secci´n 2, abordaremos brevemente la aparici´n del caos o o o en sistemas din´micos y el importante descubrimiento que supone la consa tante de Feigenbaum. En la secci´n 4 descubriremos uno de los m´s bellos y o a complejos objetos matem´ticos, el conjunto de Mandelbrot, que puede cona siderarse una enciclopedia en la que cada una de sus entradas esun conjunto de Julia de los que se discuten en la secci´n 3. o 1
2
´ 1 MONSTRUOS MATEMATICOS
La secci´n 5 presenta los sistemas L, una forma sencilla de construir o gr´ficamente fractales. Despu´s de esta secci´n, el resto del trabajo discute a e o los fundamentos de la m´sica fractal. En la secci´n 6 se analiza brevemente u o la relaci´n entre ciencia y m´sica. Despu´s, se presenta aalgunos compoo u e sitores de m´sica fractal en la secci´n 8. Las secciones entre la 9 y la 12 u o tratan sobre la forma de componer m´sica fractal a partir de series num´riu e cas autosemejantes, atractores extra˜os, sistemas L y el conjunto de Mann delbrot. Para cada uno de estos casos se introducen cuatro programas de composici´n: Musinum, The Well Tempered Fractal, LMuse y Gingerbread, orespectivamente. En la direcci´n http://www.dlsi.ua.es/~japerez/fractal se encueno tra, adem´s de este trabajo, los programas de generaci´n de m´sica fractal a o u se˜alados y ejemplos de melod´ compuestas con su ayuda. n ıas Los objetivos de este trabajo son puramente descriptivos por lo que se omitir´ toda demostraci´n de los resultados obtenidos. a o
1.
Monstruos matem´ticos a
A finales delsiglo pasado, el matem´tico Charles Hermite tildaba de a ((plaga lamentable)) la fascinaci´n que algunos matem´ticos sent´ por deo a ıan terminadas curvas que desafiaban los cimientos de la geometr´ de la ´poca. ıa e Muchos como ´l consideraban patol´gicas aquel tipo de curvas y se desene o tend´ de sus ins´litas propiedades. Uno de aquellos primeros monstruos ıan o geom´tricos era el denominadoconjunto de Cantor. Su definici´n es muy e o sencilla: se toma un segmento de determinada longitud (por ejemplo el intervalo [0, 1] de la recta real) y se divide en tres subsegmentos de igual longitud, se suprime el segmento central y el proceso se repite con los dos nuevos segmentos resultantes. El resultado de iterar este proceso infinitas veces es el conjunto de Cantor. Ahora bien, ¿tiene elementosel conjunto de Cantor? Un espectador infinitesimal que contemplase la iteraci´n anterior durante una eternidad, ¿no o terminar´ por ver desaparecer la totalidad de los puntos? Puede demosıa trarse que no, pero el consolidado sistema de medidas de la ´poca (medida e Lebesgue) daba para dicho conjunto longitud nula. Tarde o temprano se tuvo que aceptar que aquel sistema de medidas era insuficiente....
Juan Antonio P´rez Ortiz e
japerez@dlsi.ua.es
Departamento de Lenguajes y Sistemas Inform´ticos a
Universidad de Alicante
Mayo 2000
Esta obra est´ bajo una licencia Reconocimiento-No comercial 2.5 de a Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.5/ o env´ una carta a ıe Creative Commons,559 Nathan Abbott Way, Stanford, California 94305, USA.
A pesar de que la historia de los fractales comienza en los ultimos d´ ´ ıas del siglo XIX, gran parte del XX permanece ajena a ellos. En las ultimas ´ d´cadas del siglo, y casi paralelamente a la evoluci´n de la investigaci´n en e o o sistemas ca´ticos, los fractales cobran un auge creciente, hasta convertirse o en un concepto cada vezm´s extendido en todas las ciencias. a Este trabajo es una introducci´n a la teor´ de la geometr´ fractal y a o ıa ıa una de sus aplicaciones m´s recientes: la m´sica fractal. La geometr´ fractal a u ıa no solo puede estimular los sentidos a trav´s de la generaci´n de impresioe o nantes paisajes virtuales, sino tambi´n por medio de melod´ desafiantes. e ıas En la secci´n 1 mostraremos algunos de losfractales m´s famosos. A o a continuaci´n, en la secci´n 2, abordaremos brevemente la aparici´n del caos o o o en sistemas din´micos y el importante descubrimiento que supone la consa tante de Feigenbaum. En la secci´n 4 descubriremos uno de los m´s bellos y o a complejos objetos matem´ticos, el conjunto de Mandelbrot, que puede cona siderarse una enciclopedia en la que cada una de sus entradas esun conjunto de Julia de los que se discuten en la secci´n 3. o 1
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´ 1 MONSTRUOS MATEMATICOS
La secci´n 5 presenta los sistemas L, una forma sencilla de construir o gr´ficamente fractales. Despu´s de esta secci´n, el resto del trabajo discute a e o los fundamentos de la m´sica fractal. En la secci´n 6 se analiza brevemente u o la relaci´n entre ciencia y m´sica. Despu´s, se presenta aalgunos compoo u e sitores de m´sica fractal en la secci´n 8. Las secciones entre la 9 y la 12 u o tratan sobre la forma de componer m´sica fractal a partir de series num´riu e cas autosemejantes, atractores extra˜os, sistemas L y el conjunto de Mann delbrot. Para cada uno de estos casos se introducen cuatro programas de composici´n: Musinum, The Well Tempered Fractal, LMuse y Gingerbread, orespectivamente. En la direcci´n http://www.dlsi.ua.es/~japerez/fractal se encueno tra, adem´s de este trabajo, los programas de generaci´n de m´sica fractal a o u se˜alados y ejemplos de melod´ compuestas con su ayuda. n ıas Los objetivos de este trabajo son puramente descriptivos por lo que se omitir´ toda demostraci´n de los resultados obtenidos. a o
1.
Monstruos matem´ticos a
A finales delsiglo pasado, el matem´tico Charles Hermite tildaba de a ((plaga lamentable)) la fascinaci´n que algunos matem´ticos sent´ por deo a ıan terminadas curvas que desafiaban los cimientos de la geometr´ de la ´poca. ıa e Muchos como ´l consideraban patol´gicas aquel tipo de curvas y se desene o tend´ de sus ins´litas propiedades. Uno de aquellos primeros monstruos ıan o geom´tricos era el denominadoconjunto de Cantor. Su definici´n es muy e o sencilla: se toma un segmento de determinada longitud (por ejemplo el intervalo [0, 1] de la recta real) y se divide en tres subsegmentos de igual longitud, se suprime el segmento central y el proceso se repite con los dos nuevos segmentos resultantes. El resultado de iterar este proceso infinitas veces es el conjunto de Cantor. Ahora bien, ¿tiene elementosel conjunto de Cantor? Un espectador infinitesimal que contemplase la iteraci´n anterior durante una eternidad, ¿no o terminar´ por ver desaparecer la totalidad de los puntos? Puede demosıa trarse que no, pero el consolidado sistema de medidas de la ´poca (medida e Lebesgue) daba para dicho conjunto longitud nula. Tarde o temprano se tuvo que aceptar que aquel sistema de medidas era insuficiente....
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