mutiplicacion y division

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

1. Introducción
La multiplicación se puede considerar como una operación aritmética entre números naturales, de manera que se parte de dos números naturales y se obtiene otro número natural.
Es decir, la multiplicación se puede interpretar como una aplicación entre el conjunto N x N de parejas ordenadas de números naturales y el propio conjunto N.

N  NPor ejemplo:

(3, 4)  12

Esta concepción de la multiplicación, así entendida tiene un carácter binario.
Pero la operación multiplicación puede definirse también como una aplicación unitaria de N en N del siguiente modo:

x4
N  N
3  12

Aunque la multiplicación es habitualmente considerada como una operación binaria desde el punto de vista matemático, los alumnos suelenaprender la multiplicación como una suma reiterada, de forma que comienza siendo unitaria en su aprendizaje.
La multiplicación de a x b, como suma reiterada, requeriría los siguientes pasos:
- Escoger un conjunto A cuyo cardinal sea a.
- Realizar la unión del conjunto A consigo mismo tantas veces como marque el cardinal b.
- Hallar el cardinal c del conjunto unión de todos los anteriores.
A partirde esta definición se puede comprender que el multiplicando y el multiplicador tienen papeles diferentes y naturalezas también distintas. Bajo esta interpretación, la multiplicación no es un caso particular de la suma. Es otra operación que puede definirse, a partir de la suma. No se reduce a ella.
Entender la multiplicación como operación estrictamente binaria, donde multiplicando ymultiplicador desempeñan el mismo papel implica, por el contrario:
- Escoger un conjunto A cuyo cardinal sea a.
- Escoger un conjunto B cuyo cardinal sea b.
- Tomar el producto cartesiano A x B.
- El cardinal de A x B es el resultado deseado c.
Entender la multiplicación como la realización de un producto cartesiano supone muchas cosas diferentes respecto a la interpretación anterior. Dentro de lamisma, los conjuntos A y B tienen el mismo nivel de abstracción: se refieren a conjuntos de elementos concretos, sean lo que sean. En cambio, el resultado c es el cardinal de un conjunto cuyos elementos sean combinaciones de elementos de A y B.
Tal sucede en los problemas en que se combinan, por ejemplo, tres chicos y cinco chicas en un baile. El resultado final (15) no se refiere a unos ni a otrassino a las posibles parejas que se pueden formar en dicho baile.
De la división se suele decir que es la operación inversa de la multiplicación. Pero, no es ni siquiera una operación, en sentido estricto. En la división se dispone de dos números iniciales, que se suelen denominar dividendo y divisor y, a partir de ellos, se trata de obtener otro que recibe el nombre de cociente:

(Dividendo,divisor)  Cociente
(D,d)  C

La estructura de los datos parece indicar que es una operación entre números naturales. Es evidente, sin embargo, que no es así, puesto que no cumple la definición de una aplicación. No toda pareja de números naturales tienen una imagen. Por ejemplo el (3, 2) no le corresponde un cociente natural, sino fraccionario (1/2).
Aunque no son operaciones rigurosamenteinversas, lo cierto es que existe una relación clara entre la multiplicación y la división, la mayoría de los autores prefieren hablar de “cierta forma de inversión” apelando más a criterios psicológicos o de aprendizaje que a criterios matemáticos.
Así, si la multiplicación es interpretada como una acción efectuada sobre dos números para obtener otro, la división expresa el hecho de que se conoceparte de la acción y el resultado y se desconoce el resto de dicha acción.



2. Construcción de la estructura multiplicativa
El producto y la división son operaciones que necesitan un dominio previo de los números, de la suma y de su simbolización. Es por esto que se suele esperar al segundo año de escolaridad para iniciar el estudio del producto y la división.
Cierto número de autores han...