Muy Importante

Tema 5
Plano Complejo
5.1

Plano Complejo

Se supone que el alumno est´ familiarizado con la aritm´tica compleja. Vamos a hacer un
a
e
breve repaso, resaltando la relaci´n de los n´ meros complejos con los vectores del plano.
o
u

5.1.1

Generalidades

En el plano eucl´
ıdeo R2 tenemos:
• Una estructura de espacio vectorial sobre R.
• Una distancia que induce nocionestopol´gicas fundamentales (entornos, conjuntos
o
abiertos, cerrados, frontera de un conjunto, conjuntos conexos, simplemente conexos;
l´
ımites de sucesiones y de funciones, continuidad, convergencia, . . . ).
Todo esto se mantiene, sin modificaci´n alguna, en el paso al plano complejo C. As´
o
ı,
como conjunto, C = R2 . Las operaciones de espacio vectorial sobre R, la distancia y las
nocionestopol´gicas ligadas, son pues id´nticas.
o
e
La novedad es que se introduce una multiplicaci´n de vectores. Recordemos que dados
o
v1 = [x1 , y1]T , v2 = [x2 , y2 ]T ∈ C, su producto es el nuevo vector
v1 · v2 = [x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 ]T ∈ C.
En estas lecciones, para evitar confusiones, el s´
ımbolo ·, por defecto, se reservar´ para
a
denotar la multiplcaci´n compleja.
o
Laoperaci´n de multiplicaci´n en C es:
o
o
• Conmutativa.
• Asociativa.
• Admite elemento neutro.
• Cada elemento no nulo posee un inverso
• Es distributiva respecto de la suma de vectores.
Ampliaci´n de Matem´ticas.
o
a

65

TEMA 5. PLANO COMPLEJO

En estas condiciones, se dice que (C, +, ·) es un cuerpo conmutativo.
Es interesante el preguntarse si no se podr´ hacer lo mismo en otrasdimensiones,
ıa
es decir, si se podr´ definir una multiplicaci´n en Rn de suerte que, junto con la suma
ıa
o
habitual, tuvi´ramos un cuerpo. Esto s´lo es posible para n = 1, 2, tal y como ya
e
o
sabemos, y para n = 4. El cuerpo resultante para n = 4 recibe el nombre de cuerpo de
los cuaterniones y, como diferencia m´s significativa, se˜alamos que no es conmutativo.
a
n

5.1.2

Notaci´no

En el contexto de C se introduce una notaci´n espec´
o
ıfica que en cierto modo enmascara
el hecho de que estamos hablando de vectores del plano.
• En primer lugar, los n´ meros complejos se denotan sin flechas y sin negritas. Se
u
escribe simplemente z ∈ C.
• Los n´ meros reales x ∈ R se identifican con los vectores horizontales [x, 0]T ∈
u
2
R . Esto tiene sentido, pues estaidentificaci´n es coherente con las operaciones de
o
suma y multiplicaci´n; los complejos del tipo [x, 0]T pasan a llamarse reales, el eje
o
coordenado OX es el eje real.
• El segundo vector can´nico [0, 1]T se denota por i o por j (la notaci´n i es la
o
o
m´s frecuente en Matem´ticas, mientras j es la preferida en la Ingenier´ ambas
a
a
ıa;
notaciones est´n relacionadas con la empleada para loscuaterniones, donde la
a
base can´nica de R4 se denota por 1, i, j, k). Los vectores verticales [0, y ]T ∈ C
o
pasan a llamarse n´ meros imaginarios puros, la recta coordenada OY a llamarse eje
u
imaginario, y se denotan por
[0, y ]T = y [0, 1]T = y i.
• Para z = [x, y ]T ∈ C, ponemos
z = x[1, 0]T + y [0, 1]T = x + y i,
que es la llamada forma binomia de z . Se dice que x, y ∈ R son laparte real e
imaginaria de z , respectivamente, y se denotan por
x = Re (z ),
• La norma eucl´
ıdea

·

y = Im (z ).

se denota por | · |, es decir
|z | =

x2 + y 2 ,

z = x + y i ∈ C,

y se llama m´dulo o valor absoluto.
o
• La reflexi´n respecto del eje real, es decir, la aplicaci´n lineal en R2 → R2 que
o
o
manda [x, y ]T en [x, −y ]T se llama conjugaci´n. Si z = x + y i ∈C, el complejo
o
reflejado se denota por z = x − y i y se denomina el conjugado de z .
• El producto escalar ordinario en notaci´n compleja se escribe
o
z1 , z2 = Re (z1 z 2 ),
Ampliaci´n de Matem´ticas.
o
a

z1 , z2 ∈ C = R2 .
66

TEMA 5. PLANO COMPLEJO

• Se cumple z z = |z |2 , para z ∈ C. Esto es particularmente util a la hora de dividir,
´
pues si z1 , z2 ∈ C, z2 = 0, la...