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Universitat de les Illes Balears

M´
etodos de Variable Compleja
para la F´ısica

David S´anchez Mart´ın

c 2008 David S´anchez Mart´ın (email: david.sanchez@uib.es). Se autoriza a copiar,
imprimir o distribuir este documento o partes de ´el, libremente, siempre que se cite el
nombre del autor y aparezca esta nota de copyright. Prohibido el uso con fines
comerciales.

´Indice general

0.Motivaci´
on
1. N´
umeros complejos
1.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Representaci´on gr´afica . . . . . . . .
1.3. Propiedades algebraicas . . . . . . .
1.4. Propiedades geom´etricas . . . . . . .
1.5. Forma polar . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Potencias . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Ra´ıces . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Formulaci´on abstracta . . . . . . . .
1.9.Aplicaci´on: Movimiento retr´ogrado de
1.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .

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planetas
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2. Funciones complejas
2.1. Funciones de variable real . . . . . . . . . .
2.2. Funciones de variable compleja . . . . . . .
2.3. L´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
2.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Derivadas y ecuaciones de Cauchy-Riemann
2.6. Funciones arm´onicas . . . . . . . . . . . . .
2.7. Formulaci´on alternativa . . . . . . . . . . .
2.8. Aplicaci´on: Campos y fluidos . . . . . . . .
2.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Funciones elementales
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3.1. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.

Funci´on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funciones trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . .
Funciones hiperb´olicas . . . . . . . . . . . . . . . .Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exponentes complejos . . . . . . . . . . . . . . . .
Inversas de funciones trigonom´etricas e hiperb´olicas
Aplicaci´on: Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. Integrales
4.1. Integrales de funciones de variable real . . . . . .. . . . . . . . . .
4.2. Integrales de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Teorema de Cauchy-Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. F´ormula de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Teorema de Morera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Cotas de funciones anal´ıticas y el teorema fundamental del´algebra .
4.7. Aplicaci´on: Relaciones de dispersi´on y principio de causalidad . . .
4.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. Series
5.1. Sucesiones y criterios de covergencia .
5.2. Series de potencias . . . . . . . . . .
5.3. Series de Taylor . . . . . . . . . . . .
5.4. Series de Laurent . . . . . . . . . . .5.5. Aplicaci´on: Continuaci´on anal´ıtica . .
5.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .

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6. Residuos y...