Método de la biseción

EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
Teorema de Bolzano


El Teorema de Bolzano afirma que si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado y en los extremos del mismo ésta toma valores consignos opuestos, entonces existe al menos una raíz de la función en el interior del intervalo. Demostración: Supongamos que f(a) < 0 y f(b) > 0. Sea T el conjunto formado por todos los valores x / x ∈[a,b] para los que f(x) < 0. El conjunto T está acotado superiormente por b y, además, no es vacío ya que a pertenece a T.
Por ello el conjunto T tiene un extremo superior c. Se cumple que f(c) = 0.Veamoslo: Si f(c) > 0, entonces por la propiedad de la conservación del signo de las funciones continuas existiría un intervalo (c−δ,c + δ) en el que la función sería también positiva. En este casoexistirían valores menores que c que servirían de cota superior de T y por ello c no sería el extremo superior de T como hemos supuesto. Si f(c) < 0, entonces existiría un intervalo (c−δ,c + δ) en el quela función sería negativa y por tanto existirían valores de x a la derecha de c para los que la función sería negativa y por tanto c no sería el extremo superior de T. Por tanto f(c) tiene que tomarel valor cero: f(c) = 0. Si f(a) > 0 y f(b) < 0 el razonamiento es similar.
De forma más general obtenemos El Teorema del Valor Intermedio:
El Teorema del Valor Intermedio


Básicamente elTeorema del Valor Intermedio nos dice que toda función continua en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valoresintermedios. Demostración: Para la demostración aplicamos el teorema de Bolzano en la función g(x) = f(x)−k, la cual es continua, por serlo f(x), g(a) < 0 y g(b) > 0. El teorema nos permite afirmar que existiráC ∈ (a, b) tal que g(c) = 0 y en consecuencia f(c) = k.
El método de la bisección se basa en estos teoremas y se emplea para aproximar ceros de funciones. Supóngase que queremos encontrar los...