Método De Richardson
Páginas: 3 (550 palabras)
Publicado: 25 de enero de 2013
Método de Richardson
El método de extrapolación de Richardson, desarrollado por Lewis Fry Richardson (1881-1953), permite construir a partir de una secuencia convergente otra secuencia másrápidamente convergente. Esta técnica se usa frecuentemente para mejorar los resultados de métodos numéricos a partir de una estimación previa, de igual forma mejora la precisión en el cálculo numérico de laderivada de una función, partiendo de la base de la serie de Taylor. Este proceso es especialmente utilizado para definir un método de integración: el método de Romberg.
Principio
Para una funciónvariable en x, la primera derivada está definida por:
Una simple aproximación se tiene por la diferencia hacia adelante, de forma que:
Esta aproximación está lejos del valor real, por tanto enorden de hacer un análisis del error, expandimos en forma de serie de Taylor:
Substrayendo f(x) de ambos lados y dividiendo por h, se tiene que:
Análogamente se derivan las demás fórmulas deaproximación, deduciendo por ejemplo, con diferencia hacia atrás o cambiando los valores de h; de esta forma se obtiene una expresión generalizada llamada extrapolación de Richardson:
Sea A, larespuesta exacta a la integral, y A(h) la estimación de A con orden . De tal forma que:
Donde:
Es un estimador del error, usando la notación de Landau.
Son constantes desconocidas. Tal que
Ahorabien: Usando tamaños de espaciamiento h y h/t, podemos aproximar a A como:
Multiplicando la última ecuación por
Sustrayendo (2) y (1), como se vio al inicio:
Despejando A:
De este modo,se ha obtenido una mejor aproximación de A al sustraer el término más grande en el error . De igual manera se pueden remover más términos de error de modo que se obtengan mejores aproximaciones deA. Una relación de recurrencia general puede ser implementada en las aproximaciones al hacer:
Siendo el orden del error
Con:
Aplicaciones en métodos numéricos
Las aplicaciones más...
El método de extrapolación de Richardson, desarrollado por Lewis Fry Richardson (1881-1953), permite construir a partir de una secuencia convergente otra secuencia másrápidamente convergente. Esta técnica se usa frecuentemente para mejorar los resultados de métodos numéricos a partir de una estimación previa, de igual forma mejora la precisión en el cálculo numérico de laderivada de una función, partiendo de la base de la serie de Taylor. Este proceso es especialmente utilizado para definir un método de integración: el método de Romberg.
Principio
Para una funciónvariable en x, la primera derivada está definida por:
Una simple aproximación se tiene por la diferencia hacia adelante, de forma que:
Esta aproximación está lejos del valor real, por tanto enorden de hacer un análisis del error, expandimos en forma de serie de Taylor:
Substrayendo f(x) de ambos lados y dividiendo por h, se tiene que:
Análogamente se derivan las demás fórmulas deaproximación, deduciendo por ejemplo, con diferencia hacia atrás o cambiando los valores de h; de esta forma se obtiene una expresión generalizada llamada extrapolación de Richardson:
Sea A, larespuesta exacta a la integral, y A(h) la estimación de A con orden . De tal forma que:
Donde:
Es un estimador del error, usando la notación de Landau.
Son constantes desconocidas. Tal que
Ahorabien: Usando tamaños de espaciamiento h y h/t, podemos aproximar a A como:
Multiplicando la última ecuación por
Sustrayendo (2) y (1), como se vio al inicio:
Despejando A:
De este modo,se ha obtenido una mejor aproximación de A al sustraer el término más grande en el error . De igual manera se pueden remover más términos de error de modo que se obtengan mejores aproximaciones deA. Una relación de recurrencia general puede ser implementada en las aproximaciones al hacer:
Siendo el orden del error
Con:
Aplicaciones en métodos numéricos
Las aplicaciones más...
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