MÉTODO DE RUNGE KUTTA

MÉTODO DE RUNGE KUTTA

Uno de los métodos más utilizados para resolver numéricamente problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales es el método de Runge-Kutta decuarto orden, el cual proporciona un pequeño margen de error con respecto a la solución real del problema y es fácilmente programable en un software para realizar las iteraciones necesarias.
El método deRunge-Kutta se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales de la forma explícita:


o en su forma implícita:


Así, el siguiente valor (yi+1) es determinado por el presente valor (yi) másel producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes:
k1 es la pendiente al principio del intervalo;
k2 es la pendiente en elpunto medio del intervalo, usando k1 para determinar el valor de y en el punto xi + h/2.
k3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k2 para determinar el valor de y k4 es lapendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k3
Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Ejemplo
Usar el método de RungeKutta para aproximar y (0.5) dada la siguiente ecuación diferencial:

Solución
Primero, identificamos las condiciones iniciales, el intervalo y la función:

Para poder calcular el valor de ,debemos calcular primeros los valores de k1, k2, k3, k4:
Tenemos entonces que para la primera iteración:


Con el fin de un mayor entendimiento de las fórmulas, veamos la siguiente iteración:

Elproceso debe repetirse hasta obtener . Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Concluimos que el valor obtenido con el método de Runge-Kutta es:

Calculemos el valor de y(x) por método deintegración directa

Evaluando en 0.5 tenemos:

Finalmente, calculamos el error relativo verdadero:

Con lo cual vemos que efectivamente se ha reducido muchísimo el error relativo. De hecho...